szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2007, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 1676
Lokalizacja: warszawa
Wykaż, że dla każdego n \in C_+ \ {1} zachodzi nierówność \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2007, o 20:01 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
Spr. dla n_0 = 2
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}

Zał.
T(k): \ \frac{1}{k+1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}

Teza
T(k+1): \ \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} > \frac{13}{24}

Dowód:
L_T = \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} >  \frac{13}{24} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > \frac{13}{24}
Należy jeszcze wykazać, że:
\frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} - \frac{1}{k+1} > 0\\
\frac{1}{2k+1}  - \frac{1}{2k+2} > 0\\
\frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2k+2}\\
2k + 1 < 2k + 2\\
1 < 2
Zatem na mocy tw. indukcji matematycznej dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej > 1.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykazać, że suma jest równa.  jak to  2
 Wykazać indukcyjnie, że zachodzi równość.  Kunegunda11  1
 wykazac nierównosc - zadanie 21  Ryland  3
 wykazać, że zachodzi nierówność - zadanie 2  matematyk261  3
 Wykazac rownosc za pomoca...  bah  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl