szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2018, o 14:44 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3979
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Rozważmy algebrę Banacha \ell_1(\mathbb Z) obustronnie nieskończonych szeregów bezwzględnie zbieżnych ze splotem (obustronnym iloczynem Cauchy'ego)

    (x_n)_{n\in \mathbb Z}\ast (y_n)_{n\in \mathbb Z} = \sum_{n\in \mathbb{Z}} (\sum_{ i+j = n} x_i y_j)\cdot e_n,

gdzie e_n to ciąg, który na n-tym miejscu ma 1, a poza tym 0.

Czy splot

    \ast\colon \ell_1(\mathbb Z)\times\ell_1(\mathbb Z)\to \ell_1(\mathbb Z)

jest odwzorowaniem otwartym?

Gdyby tak było, byłaby to odpowiedź na pewne pytanie dotyczące natury odwzorowań dwuliniowych (zob. tutaj).

Uwagi:

1. Splot (iloczyn Cauchy'ego) w \ell_1(\mathbb{N}_0) nie jest otwarty.
2. Splot w \ell_1(\mathbb Z) nie jest jednostajnie otwarty.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 22:02 
Gość Specjalny

Posty: 5774
Lokalizacja: Toruń
Spektralny napisał(a):
1. Splot (iloczyn Cauchy'ego) w \ell_1(\mathbb{N}_0) nie jest otwarty.


Jak się to pokazuje? I czemu ten dowód nie przechodzi na \ell_1 (\mathbb{Z})?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 22:35 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3979
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Można pokazać, że jeżeli mnożenie w algebrze Banacha jest otwarte to elementy odwracalne tej algebry są gęste. Dla \ell_1(\mathbb N_0) można łatwo uzasadnić, że odwracalne elementy nie są gęste. W \ell_1(\mathbb Z) elementy odwracalne są gęste, ale nic z tego nie wynika.

Zobacz Proposition 4.1 tutaj.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Otwartość/domkniętość zbiorów  Tomas_91  7
 Otwartość zbioru, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej.  Anonymous  16
 Zwartość i otwartość funkcji - zadanie 2  Tomek55  0
 liczenie splotu  gienia  3
 operacje dla splotu i korelacji sygnałów (CPS)  wibers  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl