szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2018, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Kołobrzeg
Witam. Nie radzę sobie z obrazami i przeciwobrazami funkcji - nie rozumiem, na jakiej zasadzie mógłbym wyznaczyć je algebraicznie. Z tegoż powodu piszę tutaj - jest ktoś w stanie odesłać mnie do ciekawego poradnika/książki, gdzie ładnie i przejrzyście jest ten temat wytłumaczony? :)

A mój problem zaczął się od dosyć trywialnego przykładu - niech będzie f: \RR \rightarrow \RR określone wzorem f \left( x \right) = \sin x + 1.
Wyznaczyć obraz f* \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2} \right] oraz trzy przeciwobrazy f^{-1} * \left( \frac12 ; \infty \right) , \left( - \infty ; 1 \right) oraz \left\{ 0\right\} .
Szczerze mówiąc nie wiem, za co się tutaj zabrać. Mógłbym prosić o jakieś wskazówki, porady? :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2018, o 18:26 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
spectral napisał(a):
Nie radzę sobie z obrazami i przeciwobrazami funkcji - nie rozumiem, na jakiej zasadzie mógłbym wyznaczyć je algebraicznie.

Z definicji obrazu/przeciwobrazu.

spectral napisał(a):
niech będzie f: \RR \rightarrow \RR określone wzorem f \left( x \right) = \sin x + 1.
Wyznaczyć obraz f* \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2} \right]

Zgodnie z definicją (będę jednak używał bardziej współczesnej notacji na obraz/przecowiobraz) masz

f\left[ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] \right] =\left\{ f(x): x\in\left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]\right\}= \left\{\sin x + 1: x\in\left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right]\right\}

Skoro sinus na przedziale \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] przyjmuje jako wartości wszystkie liczby z przedziału [-1,1], to

f\left[ \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] \right] =[0,2].

spectral napisał(a):
oraz trzy przeciwobrazy f^{-1} * \left( \frac12 ; \infty \right) , \left( - \infty ; 1 \right) oraz \left\{ 0\right\} .
Szczerze mówiąc nie wiem, za co się tutaj zabrać. Mógłbym prosić o jakieś wskazówki, porady? :)

Zgodnie z definicją masz

f^{-1}\left[ \left( \frac12 ; \infty \right) \right] =\left\{ x\in\RR: f(x)\in\left( \frac12 ; \infty \right) \right\}= \left\{ x\in\RR: f(x)> \frac12 \right\}=\left\{ x\in\RR: \sin x+1>\frac12 \right\}=\\=\left\{ x\in\RR: \sin x>-\frac12 \right\}

zatem zadanie sprowadza się do rozwiązania prostej nierówności trygonometrycznej. Pozostałe dwa przykłady robi się podobnie.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2018, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Kołobrzeg
Dziękuję Panu za odpowiedź, jednak mam w głowie jeszcze jedną niejasność:

Jan Kraszewski napisał(a):
Skoro sinus na przedziale \left[ 0; 3 \frac{\pi}{2}\right] przyjmuje jako wartości wszystkie liczby z przedziału [-1,1]


To dosyć nieformalne i możliwe, że nieco źle zadane pytanie, ale - czy ten przedział od 0 do \frac{3\pi}{2} w obrazie funkcji traktować jako przedział na zbiorze X? Jeśli tak, to czy wobec tego inne przedziały do wyznaczania przeciwobrazu (chociażby takie, jakie podałem w moim pierwszym poście) traktować jako przedziały ze zbioru Y?
Innymi słowy - znajdowanie obrazu funkcji dla konkretnego przedziału/zbioru to znajdowanie wartości ze zbioru Y, które się w tym przedziale znajdują, a przeciwobrazu - znajdowanie argumentów X? Czy może jednak się mylę i nie do końca to zrozumiałem :(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2018, o 19:05 
Administrator

Posty: 22534
Lokalizacja: Wrocław
spectral napisał(a):
To dosyć nieformalne i możliwe, że nieco źle zadane pytanie, ale - czy ten przedział od 0 do \frac{3\pi}{2} w obrazie funkcji traktować jako przedział na zbiorze X? Jeśli tak, to czy wobec tego inne przedziały do wyznaczania przeciwobrazu (chociażby takie, jakie podałem w moim pierwszym poście) traktować jako przedziały ze zbioru Y?
Innymi słowy - znajdowanie obrazu funkcji dla konkretnego przedziału/zbioru to znajdowanie wartości ze zbioru Y, które się w tym przedziale znajdują, a przeciwobrazu - znajdowanie argumentów X?

Tak! Bardzo dobrze zrozumiałeś - dokładnie o to chodzi. Wynika to wprost z definicji obrazu/przeciwobrazu i powinno być jedną z pierwszych rzeczy, o których mówi się przy wprowadzaniu tych pojęć.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obrazy i przeciwobrazy funkcji  Tajs  0
 Definicja funkcji.  Anonymous  1
 Definicja funkcji elementarnych.  Anonymous  2
 przeciwobrazy i obrazy  Anonymous  3
 Nieprzeliczalność zbioru wszystkich funkcji słabo rosnąc  GhandaL  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl