szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 13:43 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Mam pytanie odnośnie własności relacji. Wytłumaczę sytuację na prostym przykładzie, określając własności danej relacji R.

R \subset X ^{2}, X=\left\{ 1,2,3\right\}, R=\left\{ (2,1), (3,3)\right\}

Własności powyższej relacji R:
Nie jest zwrotna, bo \neg2R2
Nie jest symetryczna, bo 2R1\wedge  \neg1R2
Nie jest przechodnia, bo 2R1\wedge  \neg1R3  \wedge  \neg2R3
Nie jest spójna, bo \neg3R2  \wedge  \neg2R3
Jest antysymetryczna, bo 2R1\wedge  \neg1R2
R nie jest funkcją, bo 1 nie jest argumentem f(x).

Czy dobrze określiłem własności tej relacji ?
Określając relacje stosuje definicje. Jeśli nie spełnia warunku podaje przykłady lub kontrargument.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 14:42 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
jakubf10 napisał(a):
Nie jest zwrotna, bo \neg2R2

Dobrze.
jakubf10 napisał(a):
Nie jest symetryczna, bo 2R1\wedge  \neg1R2

Dobrze.
jakubf10 napisał(a):
Nie jest przechodnia, bo 2R1\wedge  \neg1R3  \wedge  \neg2R3

Źle, ta relacja jest przechodnia.
jakubf10 napisał(a):
Nie jest spójna, bo \neg3R2  \wedge  \neg2R3

Dobrze.
jakubf10 napisał(a):
Jest antysymetryczna, bo 2R1\wedge  \neg1R2

Odpowiedź dobra, argument w zasadzie też (jeżeli użyjemy przeformułowanej definicji antysymetrii). Trzeba jednak pamiętać, że to działa tylko dlatego, że relacja jest tak specyficzna. W ogólności trzeba tu przeprowadzić rozumowanie ogólne.
jakubf10 napisał(a):
R nie jest funkcją, bo 1 nie jest argumentem f(x)

A to zależy od tego, jaką masz definicję funkcji. Ta relacja jest funkcją, nie jest natomiast funkcją o dziedzinie X.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 15:05 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Dziękuje za odpowiedź, teraz zastanawiam się dlaczego jest przechodnia?
Może zrobię sobie jeszcze kilka podobnych przykładów i udostępnię je tutaj, gdyż nie mam odpowiedzi i mogę być w wielu sytuacjach w błędzie. Chciałbym dobrze zrozumieć to zagadnienie na prostych przykładach by móc iść dalej w ciekawsze rzeczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 16:30 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
jakubf10 napisał(a):
teraz zastanawiam się dlaczego jest przechodnia?

Zacznij od zrozumienia, dlaczego Twój kontrprzykład jest zły.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Kraków
Jan Kraszewski napisał(a):
Zacznij od zrozumienia, dlaczego Twój kontrprzykład jest zły.

JK


Mój kontrprzykład jest zły bo \neg1R3 jest niezgodne z definicją x _{1}Rx _{2} \wedge x _{2}Rx _{3} \Rightarrow x _{1}R x_{3} . Czyli 3R3 oznacza, że jest przechodnia? Podstawiając 3ma to sens. Faktem jest to że przykład jest bardzo specyficzny, ale chcę rozwiać wszelkie wątpliwości. Dlatego drugi przykład będzie chyba lepszy.


X=\left\{ 1,2,3,4\right\},  R \subset X \times X,  R=\left\{ \left( 1,2\right), \left( 1,3\right), \left( 1,4\right), \left( 2,1\right), \left( 3,1\right), \left( 4,2\right)\right\}

Własności:
Nie jest zwrotna, bo \neg 1R1
Nie jest symetryczna, bo 1R4  \wedge  \neg 4R1
Nie jest przechodnia, bo 3R1 \wedge 1R4 \wedge  \neg 3R4
Nie jest spójna, bo \neg 3R4 \wedge  \neg 4R3
Nie jest antysymetryczna bo, 1R2 \wedge 2R1
Nie jest funkcją w dziedzinie X, gdyż 1R2 \wedge 1R3 \wedge 2 \neq 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 21:10 
Administrator

Posty: 22914
Lokalizacja: Wrocław
jakubf10 napisał(a):
Mój kontrprzykład jest zły bo \neg1R3 jest niezgodne z definicją x _{1}Rx _{2} \wedge x _{2}Rx _{3} \Rightarrow x _{1}R x_{3} .


jakubf10 napisał(a):
Czyli 3R3 oznacza, że jest przechodnia? Podstawiając 3ma to sens.

To dość niepełne stwierdzenie, choć ma sens. Dokładniej: jedyną sytuacją, gdy spełnione są założenia przechodniości, jest x_1=x_2=x_3=3, a wtedy teza też oczywiście zachodzi.

jakubf10 napisał(a):
X=\left\{ 1,2,3,4\right\},  R \subset X \times X,  R=\left\{ \left( 1,2\right), \left( 1,3\right), \left( 1,4\right), \left( 2,1\right), \left( 3,1\right), \left( 4,2\right)\right\}

Własności:
Nie jest zwrotna, bo \neg 1R1
Nie jest symetryczna, bo 1R4  \wedge  \neg 4R1
Nie jest przechodnia, bo 3R1 \wedge 1R4 \wedge  \neg 3R4
Nie jest spójna, bo \neg 3R4 \wedge  \neg 4R3
Nie jest antysymetryczna bo, 1R2 \wedge 2R1
Nie jest funkcją w dziedzinie X, gdyż 1R2 \wedge 1R3 \wedge 2 \neq 3

Wszystko dobrze.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 .... Rysowanie diagramu relacji  Xardas85  2
 Interpretacja geom. relacji zwrotności i symetryczności  freeloser91  1
 Własności obrazu  Zymon  1
 Wysokość relacji  xyan  0
 Zadania z relacji - zadanie 2  smakowy155  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl