szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 16:35 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n!)^2 x^{2n}}{(2n)!}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 17:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
Szereg jest zbieżny tam gdzie spełnia kryterium d'Alemberta czyli dla takich x dla których:

\lim_{n \to  \infty } \frac{ \frac{\left( (n+1)!\right)^2 }{(2n+2)!} x^{2n+2}}{ \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^{2n} }= \lim_{n \to  \infty } \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \cdot x^2  =  \frac{x^2}{4} <1

czyli dla x\in\left( -2,2\right) szereg jest zbieżny.A krańce zbioru trzeba badać osobno. Ponieważ i tak mamy tylko parzyste potęgi więc znak nie ma znaczenia wiec wstawiamy x=2 co daje \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(n!)^2 4^{n}}{(2n)!}. Szereg ten jest rozbieżny jako że szacując z wzory Styrlinga mamy asymptotyczne zachowanie \frac{(n!)^2 4^{n}}{(2n)!}\sim \pi  \sqrt{n} co formalizujemy powołując się na kryterium ilorazowe. Więc zostanie x\in\left( -2,2\right).

Ciekawe w tym przykładzie jest to że szereg jest zbieżny w promieniu zbieżności ale na jego krańcu nie jest spełniony nawet warunek konieczny.

-- 26 kwi 2018, o 17:28 --

Pewnie można obejść się bez tego szacowania Styrlinga i pokombinować z mniej subtelnymi oszacowaniami silni.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 19:15 
Użytkownik

Posty: 127
Lokalizacja: Warszawa
Aby zbadac zbieznosc na krancach bez szacowania Styrlinga wystarczy zauwazyc ze ciag okreslajacy wzor ogolny szeregu ma wyrazy nieujemne i jest rosnacy, wiec szereg nie spelnia warunku koniecznego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obszar zbieżności szeregu - zadanie 6  Kanodelo  5
 obszar zbieżności szeregu - zadanie 7  Kanodelo  3
 Obszar zbieżności szeregu - zadanie 9  Kanodelo  1
 obszar zbieżności szeregu - zadanie 8  Kanodelo  1
 Obszar zbieżności szeregu - zadanie 4  PQR  16
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl