szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 19:52 
Użytkownik

Posty: 1212
Lokalizacja: wawa
\sum_{n=1}^{ \infty } \left[ \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n \cdot x\right]^n
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 22:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Wystarczy zastosować twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda w wersji z pierwiastkiem.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 1212
Lokalizacja: wawa
o to twierdzenie chodzi?
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzen ... -Hadamarda
Ale jak je zastosowac?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 10:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
Zgadza się chodzi o to twierdzenie. Musisz policzyć \lim_{n \to  \infty }\sup  \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}\right| }. A ponieważ granica \lim_{n \to  \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n=e (czyli jest tylko jeden punkt skupienia) to maksimum punktów skupienia \lim_{n \to \infty }\sup \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}\right| }=e. Czyli R\in\left(- \frac{1}{e}, \frac{1}{e}\right).

Całe to działanie było równoważne ze zwykłym zastosowaniem kryterium Cauchy’ego i pytaniem kiedy (dla jakich x?) mamy:

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\left|  \left[ \left( \frac{n+1}{n} \right) ^n \cdot x\right]^n\right| }=e|x|<1

Widać że wyniki te pokrywają się. Pytanie czy krańce przedziału należą do promienia zbieżności by się przekonać trzeba podstawić i sprawdzić. Dla x= \frac{1}{e} mamy \sum_{n=1}^{ \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}e^{-n}. Taki szereg nie spełnia nawet warunku koniecznego jest to dość przyjemne zadanie które zostawiłem dla Ciebie. Dla x=-\frac{1}{e} mamy \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}e^{-n} jeśli wywoskujesz że wcześniej nie był spełniony warunek konieczny to w tym przykładne odpowiednia granica nie istnieje więc warunek konieczny również nie może być spełniony.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 12  Jadranko  1
 Przedział zbiezności szeregu - zadanie 16  monpor7  4
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 3  yosi  1
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 13  Toleslaw  1
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 7  cybul26  17
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl