szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln(n+1)}{n+1}x^{n+1}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2018, o 20:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2618
Lokalizacja: Radom
A wiesz jak sie liczy przedzialy zbieznosci szeregow potegpwych?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 08:44 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
Własnie nie bardzo. Stąd moja prośba o pomoc. Mam kilka innych przykładów, ale jesli ktoś wytłumaczyłby mi ten jeden, pozostałe zrobię sama.
Jest jakis schemat jak się rozwiazuje krok po kroku takie zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 10:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1142
Lokalizacja: hrubielowo
Nie ma jednego uniwersalnego schematu. Jest twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda. Można też stosować zwykłe kryteria zbieżności i pytać dla jakich x są one spełnione. W tym przykładzie można zapytać kiedy (czyli dla jakich x) spełnione jest kryterium Cauchy’ego. To pytanie w zmatematyzowanej formie wygląda tek:

\lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\left| \frac{\ln(n+1)}{n+1}x^{n+1}\right| }<1

W tym momencie problematyka zadania położona jest na policzenie granicy. Granice tą liczymy przez powołanie się na arytmetykę granic oraz spostrzeżenia:

\bullet \ \  \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{\ln\left( n+1\right) }=1

\bullet \ \  \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{n+1}=1

\bullet \ \  \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{|x|^{n+1}}=|x|

Dwa pierwsze spostrzeżenia argumentujemy odpowiednimi oszacowaniami i twierdzeniem o trzech ciągach (nie chce wchodzić dalej w formalności możesz samodzielnie przejrzeć się luką które trzeba uzupełnić w tym miejscu, nie zostało tego wiele). Po tych spostrzeżeniach wnioskujemy że szereg jest zbieżny tam gdzie:

|x|<1 \ \  \Leftrightarrow \ \ x\in\left( -1,1\right)

Krańce sprawdzamy osobno przez wstawianie. Dla x=1 szereg jest rozbieżny, kryterium porównawcze (z odpowiednim porównaniem) formalizuje to stwierdzenie. Dla x=-1 szereg jest zbieżny z kryterium Leibniza. Więc

x\in\left[ -1,1\right)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 14:37 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
ooo dziękuje Ci pięknie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 17  monikap7  3
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 7  cybul26  17
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 8  axel33  1
 Przedział zbieżności szeregu - zadanie 12  Jadranko  1
 Przedział zbieżności szeregu  krzysx  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl