szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 06:22 
Użytkownik

Posty: 76
Lokalizacja: ola
Dany jest ciąg zdefiniowany tak a_1=1, a_2=1, oraz a_n=\frac{3}{4}  \cdot  a_{n-2} + \frac{2}{3}  \cdot  a_{n-1} dla kazdego n\ge3.

Niech S=a_1+a_2+a_3+a_4+....

Oblicz S.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2018, o 08:52 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7744
Lokalizacja: Wrocław
Znasz jakąś metodę wyznaczania wzoru ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2018, o 10:35 
Użytkownik

Posty: 76
Lokalizacja: ola
Tez myślałem o ogólnym wyrazie ale jednak nie potrzeba...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2018, o 22:47 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7744
Lokalizacja: Wrocław
Rzeczywiście, można prościej, bo akurat S = \infty. Żeby to pokazać, wystarczy indukcyjnie udowodnić, że a_n \ge 1 dla n = 1, 2, \ldots.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2018, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 12307
Lokalizacja: Presslaw
Tutaj zadziała też takie coś: niech S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n. Mamy
a_3=\frac 3 4 a_1+\frac 2 3 a_2\\ a_4=\frac 3 4a_2+\frac 2 3 a_3\\ a_5=\frac 3 4 a_3+\frac 2 3 a_4\\ \ldots \\ a_n=\frac 3 4 a_{n-2}+\frac 2 3a_{n-1}
(oczywiście w domyśle n jest odpowiednio duże).
Dodajmy te równości stronami, pamiętając o tym, że a_1=a_2=1, a otrzymamy:
S_n-2= \frac 3 4 S_{n-2}+
\frac 2 3(S_{n-1}-1) \ (*)
Oczywiście ciąg (S_n) ma wyłącznie dodatnie wyrazy i jest rosnący, gdyż a_n>0 dla każdego n\in \NN^+. Zatem jego granica (właściwa lub niewłaściwa) istnieje. Przypuśćmy nie wprost, że
jest ona skończona i oznaczmy ją przez S, wówczas przechodząc do granicy w (*) dostaniemy po krótkich rachunkach S<0, co jest oczywistą sprzecznością (no chyba że się rąbnąłem w rachunkach), zatem tak być nie może, czyli
S=\lim_{n \to  \infty } S_n=+\infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 maja 2018, o 08:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1222
Lokalizacja: hrubielowo
Do policzenia jest S= \sum_{n=1}^{ \infty }a_n. Pokażmy że a_n nie spełnia warunku koniecznego. \left( \forall n\in\NN\right) a_n \ge 1 co pokazuje prosta indukcja. Tym samym suma liczb większych od 1 jest rozbieżna. Dalsze badanie ciągu a_n pokazuje że nawet sam ciąg a_n \rightarrow  \infty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 ciąg rekurencyjny - zadanie 42  alfred0  2
 ciag rekurencyjny - zadanie 21  bekisssablex3  0
 ciąg rekurencyjny - zadanie 18  rafalafar  2
 ciąg rekurencyjny - zadanie 41  karol235  3
 ciąg rekurencyjny - zadanie 2  Dredek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl