szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 10:20 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
Niech \left\{ f_n\right\} będzie ciągiem funkcyjnym okreslonym na \RR_+ następująco:
\begin{cases} n^2x &\text{dla } x \in \left[ 0, \frac{1}{n} \right] \\-n^2x+2n &\text{dla } x \in  \left(  \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right] \\0 &\text{dla } x> \frac{2}{n}  \end{cases}

a). wyznaczyc funkcję graniczną f ciągu \left\{ f_n\right\}

b). sprawdzić, czy f_n  \xrightarrow[\left[  \frac{1}{3}, \infty  \right)]{} f

c). sprawdzic, czy \lim_{ n\to  \infty  } \int_{0}^{2}f_n \left( x \right) dx= \int_{0}^{2}f \left( x \right) dx
Jeseli nie, to wyjasnic dlaczego.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 14862
Lokalizacja: Bydgoszcz
Narysuj sobie, to zobaczysz wszystko.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
Ale jak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:28 
Administrator

Posty: 22399
Lokalizacja: Wrocław
Najpierw f_1, potem f_2, potem f_3, a potem może już zauważysz, co dzieje się później.

JK
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:30 
Użytkownik

Posty: 14862
Lokalizacja: Bydgoszcz
Bierzesz kartkę papieru (w kratkę najlepiej), ołówek, jak bardzo chcesz to linijkę.

Powinnaś we wzorze rozpoznać funkcję, której wykresem jest łamana...
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:41 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
Jan Kraszewski napisał(a):
Najpierw f_1, potem f_2, potem f_3, a potem może już zauważysz, co dzieje się później.

JK

Narysowałam, zatem widzę, że funkcją graniczną jest f(x)=0 dla x \in R_+

A pomoże ktoś w podpunkcie c)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 12:47 
Administrator

Posty: 22399
Lokalizacja: Wrocław
monpor7 napisał(a):
A pomoże ktoś w podpunkcie c)?

Ale w czym problem? Całki po lewej stronie to pola trójkątów.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 13:00 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
To mam obliczać znowu do początku dla n=1,\:n=2 itd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 13:03 
Użytkownik

Posty: 12037
Nie, od razu ogólnie policz. Ustalmy dowolne n \in \NN^+. Mamy wówczas
\int_{0}^{2}f_n(x)\,\dd x = \int_{0}^{\frac 1 n }n^2 x\,\dd x+ \int_{\frac 1 n}^{\frac 2 n}(2n-n^2 x)\,\dd x+ \int_{\frac 2 n}^{2}0\,\dd x=\\=\frac 1 2+2-\frac 3 2=1\stackrel{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow 1\neq 0=  \int_{0}^{2}f(x)\,\dd x

No i co, równość tych całek oznaczałaby, że
\lim_{ n\to  \infty  }  \int_{0}^{2}f_n(x)\,\dd x= \int_{0}^{2}f(x)\,\dd x
ale nie ma dobrego powodu, żeby tak było, nie są spełnione założenia twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej ani twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej, nie ma też jednostajnej zbieżności tego ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej. Trochę nie rozumiem polecenia „wyjaśnić dlaczego". Zazwyczaj wyjaśniamy, dlaczego jakieś własności zachodzą, a nie dlaczego nie zachodzą (można najwyżej pokazać, dowieść, że nie zachodzą, jak wyżej po prostu licząc całki).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja graniczna  agulka1  0
 Funkcja graniczna - zadanie 2  laser15  8
 funkcja graniczna - zadanie 3  myszka9  1
 Funkcja graniczna - zadanie 6  monpor7  1
 Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl