szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 10:25 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: :)
Wyznaczyc funkcję graniczną dla ciągu \left\{ f_n\right\} zadanego na \RR wzorem f_n(x)=nx\sin \frac{x}{n}.
Zbadać charakter tej zbieżności na zbiorach \RR , \RR_+ oraz na przedziałach postaci \left[ 0,a\right] , a>0.

wiem już, że funkcją graniczną jest f(x)=x^2, ale nie potrafie sprawdzic drugiej czesci zadania.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 kwi 2018, o 11:18 
Użytkownik

Posty: 12037
Skorzystajmy z:
\sin t> t-\frac {t^3}{6} dla t>0,
(można to pokazać posiłkując się wzorem Maclaurina albo rozważyć funkcję
f(t)=\sin t-t+\frac{t^3}{6}, pokazać, że f(0)=0 i f jest rosnąca).
Zatem (po drobnych spostrzeżeniach) mamy
|\sin t-t|< \frac{|t|^3}{6} dla t\in \RR^+.
To dam nam jednostajną zbieżność na przedziałach postaci [0,a] dla dowolnego a>0, ponieważ możemy wobec tego napisać
\left| x^2-nx\sin \frac{x}{n} \right|=|n x|\left| \frac x n-\sin \frac x n\right| \le |nx|\cdot  \frac{|x|^3}{6n^3}= \frac{|x|^4}{6n^2}\le \frac{a^4}{6n^2}\stackrel{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow 0

-- 28 kwi 2018, o 10:25 --

Ponadto zbieżność na zbiorze \RR ani \RR^+ nie jest jednostajna, wystarczy sprawdzić to drugie, ponieważ jeśli ciąg funkcyjny nie zbiega jednostajnie na \RR^+, to na \RR tym bardziej.
Mianowicie zauważmy, że
\left|x^2-nx\sin \frac x n\right|=n^2\pi^2 gdy x=n\pi, \ n\in \NN^+, z uwagi na
\sin \pi=0. W związku z tym
\lim_{n \to  \infty } \left( \sup _{x\in \RR^+}\left|x^2-nx\sin \frac x n\right|\right)\neq 0,
czyli nie ma mowy o zbieżności jednostajnej na \RR^+.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja graniczna  agulka1  0
 Funkcja graniczna - zadanie 2  laser15  8
 funkcja graniczna - zadanie 3  myszka9  1
 Funkcja graniczna - zadanie 7  monpor7  8
 Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl