szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Mógłby ktoś pomóc z zapisaniem tych funkcji za pomocą szeregu Maclaurina?
f\left( x\right) = \frac{1}{\left( 1+x\right) ^{2}  }
f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }
f\left( x\right) =  \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3}  }
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 16:44 
Użytkownik

Posty: 12037
\frac{1}{1-t}= \sum_{n=0}^{ \infty } t^n
dla dowolnego t\in (0,1), zatem różniczkując to stronami (prawą stronę wyraz po wyrazie, jak to szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności) dostajemy
\frac{1}{(1-t)^2}= \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)t^n,
a teraz podstawiasz t=-x i koniec.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 16:56 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, jedno pytanie, dlaczego t \in \left( 0,1\right) a nie \left( -1,1\right)? Bo w tablicach mam podany przedział zbieżności takiego szeregu jako \left| t\right| < 1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 17:03 
Użytkownik

Posty: 12037
A no mój błąd niestety, t\in (-1,1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
A jakiś pomysł na te obszary zbieżności tych dwóch?
f\left( x\right) = \frac{1}{1+x ^{3} }
f\left( x\right) =  \frac{1}{\left( 1-x\right) ^{3}  }

Pierwsza wygląda po prostu na podstawienie do wzoru, mam takie coś \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -x ^{3} \right)^{n}, ale obszar zbieżności powinienem chyba liczyć z \left| -x ^{3} \right|<1
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 17:28 
Użytkownik

Posty: 12037
No zgadza się, to jest bardzo proste.

W drugim przydać się może taki ogólny wzorek:
\sum_{n=0}^{\infty}{n+k \choose k}x^n=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}
dla odpowiednich x. Te odpowiednie x znajdujesz, licząc promień zbieżności tego szeregu po lewej (np. stosując kryterium d'Alemberta do szeregu modułów), tutaj rzecz jasna k=2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 17:43 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Ten wzór wyjaśnia wszystko, zadanie zrobione, ale zastanawia czy da się tę funkcję rozpisać bez jego użycia? Tak samo jak wcześniej z liczenia pochodnych coś mi nie wychodzi i nie wiem czy w dobrym kierunku idę..
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 17:53 
Użytkownik

Posty: 12037
Tak, można.
Wracamy do wzoru
\frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty } x^n dla |x|<1. Różniczkujemy to dwukrotnie stronami, a dostaniemy
\frac{2}{(1-x)^3}= \sum_{n=0}^{ \infty }(n+1)(n+2)x^n, gdzie wciąż |x|<1 (patrz twierdzenie o różniczkowaniu szeregów potęgowych), czyli po podzieleniu tego przez dwa
\frac{1}{(1-x)^3}= \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(n+1)(n+2)}{2}x^n
dla |x|<1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Robiłem tak samo, tylko w odpowiedzi mam \sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\left( n+1\right)\left( n+2\right)x ^{n} i nie wiem skąd bierze się to \left( -1\right) ^{n}
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 12037
W odpowiedzi jest w takim razie źle. Natomiast mamy
\frac{1}{(1{\red +}x)^3}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{2}\left( -1\right) ^{n}\left( n+1\right)\left( n+2\right)x ^{n}
gdy |x|<1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 18:39 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
I znowu uczelnia rzuca kłody pod nogi :D Dziękuję za całą pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwijanie f(x)=x^2 w szereg Fouriera.  Anonymous  1
 szereg Fouriera - Legendre'a  monia  4
 Szereg trygonometryczny.  Anonymous  1
 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera.  Anonymous  9
 szeereg maclaurina  fishman4  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl