szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 20:28 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Mam trudności z rozwinięciem takiej funkcji f\left( x\right) =  \frac{x}{x ^{2}-5x+6 } w szereg o środku x_{0}=0. W poleceniu mam wskazówkę, żeby rozłożyć na początku funkcję na ułamki proste.
Robię to w skrócie tak:
f\left( x\right) =  \frac{x}{x ^{2}-5x+6 } =  \frac{3}{x-3}- \frac{2}{x-2} = - \frac{1}{1- \frac{x-1}{3} } +  \frac{1}{1- \frac{x-1}{2} } =  \sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x-1}{3} \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x-1}{2} \right) ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty }3\left(-1 \right) ^{n}\left(x-1 \right) ^{n} + \sum_{n=0}^{ \infty }2\left(-1 \right) ^{n}\left(x-1 \right) ^{n}
Podpowiecie czy w dobrym kierunku zmierzam i co z tym dalej zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 20:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1482
Lokalizacja: hrubielowo
To nie jest najlepszy kierunek bo rozwinięcie nie jest w punkcie x_0=0. Lepiej zapisz to tak:

f(x)= -\frac{1}{ 1-\frac{x}{3} }+\frac{1}{ 1-\frac{x}{2} }

Wtedy będzie można wygodnie zauważyć że:

f(x)= -\sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x}{3} \right)^n +\sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x}{2} \right)^n=\sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} \right) x^n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 21:06 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Masz rację, prościej liczy się Twoim sposobem.
Zastanawiam się teraz czy da się dojść z tym, co mamy do postaci:
\sum_{n=0}^{ \infty }\left( 2 \cdot \left( -1\right) ^{n} - 3 \cdot 2 ^{-n-1}\right) \cdot x ^{n}, bo do takiej mam (teoretycznie) sprowadzić, ale jakoś tego nie widzę..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 21:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1482
Lokalizacja: hrubielowo
Raczej się nie da, bo

2 \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left(-x\right) ^{n}= \frac{2}{1+x}

oraz

- \frac{3}{2}  \cdot \sum_{n=0}^{ \infty }\left(  \frac{x}{2} \right)^n=- \frac{3}{2} \cdot  \frac{1}{1-\frac{x}{2}}

Więc musiało by zachodzić że f(x)=\frac{2}{1+x}- \frac{3}{2} \cdot  \frac{1}{1-\frac{x}{2}} a tak nie jest o ile się w rachunkach nie mylę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 kwi 2018, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję za rozpisanie wszystkiego po kolei :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwijanie f(x)=x^2 w szereg Fouriera.  Anonymous  1
 szereg Fouriera - Legendre'a  monia  4
 Szereg trygonometryczny.  Anonymous  1
 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera.  Anonymous  9
 Stosując wzór Taylora...  Pulson  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl