szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2018, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Słupsk
Dany jest ciąg określony wzorem:
a _{n} = \frac{4n+1}{n+2}

Wyznacz, które wyrazy tego ciągu różnią się od jego granicy o mniej niż 0,01.

1) Obliczam granice:
\lim_{ n \to \infty } \frac{4n+1}{n+2} = \lim_{ n \to \infty } \frac{n(4+ \frac{1}{n}) }{n(1+ \frac{2}{n} )} = 4
2) Wyznaczam te wyrazy:
\left| \frac{4n+1}{n+2}-4\right| < 0,01
Szybka matma
\left| \frac{-7}{n+2} \right| < \frac{1}{100}
I teraz tak:
Czy \left| \frac{-7}{n+2} \right| = \frac{\left| -7\right| }{\left| n+2\right| } = \frac{ 7 }{\left| n+2\right| }?
Jeśli tak to muszę rozpatrzyć przypadki kiedy mianownik jest ujemny oraz kiedy mianownik jest dodatni.
Dwa przedziały n \in (- \infty, -2) oraz n \in <-2, \infty )
I tak:
n \in (- \infty, -2)
\frac{7}{-n-2}< \frac{1}{100}
\frac{7}{-n-2}- \frac{1}{100}<0
\frac{700+n+2}{-100n-200} <0
n=-702 \vee n = -2
n \in (- \infty ,-702) \cup (-2, \infty )
ale biorąc pod uwagę przedział: n \in (- \infty, -2)
mamy: n \in (- \infty ,-702)
I tak:
n \in <-2, \infty )
\frac{7}{n+2}< \frac{1}{100}
\frac{7}{n+2}- \frac{1}{100}<0
\frac{700-n-2}{100n+200} <0
n=698 \vee n = -2
n \in (- \infty ,-2) \cup (698, \infty )
ale biorąc pod uwagę przedział: n \in <-2, \infty )
mamy: n \in (698, \infty )
Z tych dwóch przypadków mam: n \in (- \infty ,-702) \cup (698, \infty )
ale wyrazy ciągu (?każdego?) należą do naturalnych dodatnich czyli mamy n \in (698, \infty ) i taka jest odpowiedź do tego zadania.

Powiedzcie czy dobrze rozumuje (przedziały w których rozpatruje są dobrze domknięte itd?) i czy można to zrobić prościej bo w tym "szalonym" zadaniu zdążyłem pomylić się przynajmniej trzy razy.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 2 maja 2018, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 12307
Lokalizacja: Presslaw
Cytuj:
Czy \left|  \frac{-7}{n+2} \right| = \frac{\left| -7\right| }{\left| n+2\right| } = \frac{ 7 }{\left| n+2\right| }?

Tak. Ogólnie mamy \left| \frac a b\right|=\frac{|a|}{|b|} dla dowolnych a\in \RR, \ b\in \RR\setminus\left\{0\right\}.
Cytuj:
Jeśli tak to muszę rozpatrzyć przypadki kiedy mianownik jest ujemny oraz kiedy mianownik jest dodatni.

Nieprawda, przecież masz do czynienia z ciągiem. Skoro n\in \NN, to n+2 zawsze jest dodatnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2018, o 16:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1222
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Dany jest ciąg

Ciąg to z definicji funkcja określona na \NN więc \frac{ 7 }{\left| n+2\right|}=\frac{ 7 }{n+2}
Dalej już standardowo.

Premislav mnie wyprzedził ale i tak to dodam bo uważam że uwaga o ciągu jest wartościowa w tym przypadku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2018, o 17:09 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Słupsk
Znaczy tak. Najpierw rozpatrzyłem dwa przypadki (wartość bezwzględna) a potem z uwagi że mam do czynienia z ciągiem odrzuciłem wyrazy ujemne. Teraz rozumiem że to rozpatrywanie miało mało sensu ale skoro potem odrzuciłem te ujemne wyrazy to tragedii nie ma?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 maja 2018, o 17:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1222
Lokalizacja: hrubielowo
Tragedii nie ma, ale z uwagi że to ciąg to tych ujemnych już wcześniej i tak nie było. Wyszło na to samo ale jak byś to wykorzystał od razu to zaoszczędził byś czas i pozostał byś bardziej "poprawny matematycznie".
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie granicy.  Anonymous  8
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl