Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Strona 1 z 1

[ Posty: 5 ]

Autor

Wiadomość

Pyroxar Offline

Tytuł: Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Napisane: 2 maja 2018, o 16:39

Posty: 106
Lokalizacja: Słupsk

Dany jest ciąg określony wzorem:
$a _{n} = \frac{4n+1}{n+2}$

Wyznacz, które wyrazy tego ciągu różnią się od jego granicy o mniej niż $0,01$ .

1) Obliczam granice:
$\lim_{ n \to \infty } \frac{4n+1}{n+2} = \lim_{ n \to \infty } \frac{n(4+ \frac{1}{n}) }{n(1+ \frac{2}{n} )} = 4$
2) Wyznaczam te wyrazy:
$\left| \frac{4n+1}{n+2}-4\right| < 0,01$
Szybka matma
$\left| \frac{-7}{n+2} \right| < \frac{1}{100}$
I teraz tak:
Czy $\left| \frac{-7}{n+2} \right| = \frac{\left| -7\right| }{\left| n+2\right| } = \frac{ 7 }{\left| n+2\right| }$ ?
Jeśli tak to muszę rozpatrzyć przypadki kiedy mianownik jest ujemny oraz kiedy mianownik jest dodatni.
Dwa przedziały $n \in (- \infty, -2)$ oraz $n \in <-2, \infty )$
I tak:
$n \in (- \infty, -2)$
$\frac{7}{-n-2}< \frac{1}{100}$
$\frac{7}{-n-2}- \frac{1}{100}<0$
$\frac{700+n+2}{-100n-200} <0$
$n=-702 \vee n = -2$
$n \in (- \infty ,-702) \cup (-2, \infty )$
ale biorąc pod uwagę przedział: $n \in (- \infty, -2)$
mamy: $n \in (- \infty ,-702)$
I tak:
$n \in <-2, \infty )$
$\frac{7}{n+2}< \frac{1}{100}$
$\frac{7}{n+2}- \frac{1}{100}<0$
$\frac{700-n-2}{100n+200} <0$
$n=698 \vee n = -2$
$n \in (- \infty ,-2) \cup (698, \infty )$
ale biorąc pod uwagę przedział: $n \in <-2, \infty )$
mamy: $n \in (698, \infty )$
Z tych dwóch przypadków mam: $n \in (- \infty ,-702) \cup (698, \infty )$
ale wyrazy ciągu (?każdego?) należą do naturalnych dodatnich czyli mamy $n \in (698, \infty )$ i taka jest odpowiedź do tego zadania.

Powiedzcie czy dobrze rozumuje (przedziały w których rozpatruje są dobrze domknięte itd?) i czy można to zrobić prościej bo w tym "szalonym" zadaniu zdążyłem pomylić się przynajmniej trzy razy.

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Napisane: 2 maja 2018, o 16:42

Posty: 12059

Cytuj:

Czy $\left| \frac{-7}{n+2} \right| = \frac{\left| -7\right| }{\left| n+2\right| } = \frac{ 7 }{\left| n+2\right| }$ ?

Tak. Ogólnie mamy $\left| \frac a b\right|=\frac{|a|}{|b|}$ dla dowolnych $a\in \RR, \ b\in \RR\setminus\left\{0\right\}$ .

Cytuj:

Jeśli tak to muszę rozpatrzyć przypadki kiedy mianownik jest ujemny oraz kiedy mianownik jest dodatni.

Nieprawda, przecież masz do czynienia z ciągiem. Skoro $n\in \NN$ , to $n+2$ zawsze jest dodatnie.

Góra

Janusz Tracz Offline

Tytuł: Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Napisane: 2 maja 2018, o 16:45

Posty: 1142
Lokalizacja: hrubielowo

Cytuj:

Dany jest ciąg

Ciąg to z definicji funkcja określona na $\NN$ więc $\frac{ 7 }{\left| n+2\right|}=\frac{ 7 }{n+2}$
Dalej już standardowo.

Premislav mnie wyprzedził ale i tak to dodam bo uważam że uwaga o ciągu jest wartościowa w tym przypadku.

Góra

Pyroxar Offline

Tytuł: Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Napisane: 2 maja 2018, o 17:09

Posty: 106
Lokalizacja: Słupsk

Znaczy tak. Najpierw rozpatrzyłem dwa przypadki (wartość bezwzględna) a potem z uwagi że mam do czynienia z ciągiem odrzuciłem wyrazy ujemne. Teraz rozumiem że to rozpatrywanie miało mało sensu ale skoro potem odrzuciłem te ujemne wyrazy to tragedii nie ma?

Góra

Janusz Tracz Offline

Tytuł: Wyznacz, które wyrazy ciągu różnią się od jego granicy ...

Napisane: 2 maja 2018, o 17:58

Posty: 1142
Lokalizacja: hrubielowo

Tragedii nie ma, ale z uwagi że to ciąg to tych ujemnych już wcześniej i tak nie było. Wyszło na to samo ale jak byś to wykorzystał od razu to zaoszczędził byś czas i pozostał byś bardziej "poprawny matematycznie".

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 5 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Analiza » Własności i granice ciągów

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Obliczanie granicy.	Anonymous	8
Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.	metamatyk	9
Badanie monotoniczności ciągu.	Anonymous	2
Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69	Anonymous	2
Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego	metamatyk	2

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]