szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Rozwinąć w szereg Fouriera:

f \left( x \right) = \begin{cases} 0, x \in \left\langle - \pi, 0 \right\rangle \\ x, x \in \left\langle 0, \pi \right\rangle\end{cases}

Obliczyć sumę:

\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \left( 2n-1 \right) ^2}

Obliczyłem:
a_{0}= \frac{ \pi }{2} \\
 a_{n}= \left( \frac{ \left( -1 \right) ^n}{n^2} - \frac{1}{n^2} \right) \cdot \frac{1}{ \pi } \\
 b_{n}= \frac{ \left( -1 \right) ^{n+1} }{n} \\
 f \left( x \right) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \left( \frac{ \left( -1 \right) ^n}{n^2} - \frac{1}{n^2}\right) \cdot \frac{1}{ \pi } \cdot \cos \left( nx \right) + \frac{ \left( -1 \right) ^{n+1} }{n} \cdot \sin \left( nx \right) \right],\mbox{ dla }x \in ?

I tutaj utknąłem. Nie wiem dla jakich x funkcja wyżej jest określona, funkcja początkowa nie spełnia warunków Dirichleta - wartości na krańcach powinny być \frac{\pi}{2}, a nie są - co z tego wynika? No i wreszcie jak policzyć sumę.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 20:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Nie wiem dla jakich x funkcja wyżej jest określona

Dla x\in\left[ - \pi , \pi\right] zgodnie z definicją funkcji f(x)
Cytuj:
funkcja początkowa nie spełnia warunków Dirichleta - wartości na krańcach powinny być \frac{\pi}{2}

f(x) spełnia warunki Dirichleta i jej wartości na końcu nie musza być równe \frac{ \pi }{2}. Czemu tak sądzisz?

Co do obliczeń to nie wypowiadam się bo nie sprawdzałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Janusz Tracz napisał(a):
f(x) spełnia warunki Dirichleta i jej wartości na końcu nie musza być równe \frac{ \pi }{2}. Czemu tak sądzisz?


Zgodnie z warunkami Dirichleta powinno zachodzić:
f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(\pi ^{-})+f(-\pi ^{+})}{2}
a nie zachodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 20:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
To nie jest warunek Dirichleta tylko wartość w punktach nieciągłości warunki Dirichleta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 20:49 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
W moich źródłach jest to warunek dirichleta
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 21:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
No ok. W takim razie może chodzi o to że przedziały powinny być otwarte i funkcje powinno się dookreślić osobno dla x= \pi własnie jako \frac{ \pi }{2}. W tym czasie właściwie znalazłem rozwiązanie klik.

-- 4 maja 2018, o 21:07 --

Jeśli określisz funkcje na przedziale otwartym to w x= \pi jest nieciągłość którą naprawiamy wstawiając tam wartość f(-\pi)=f(\pi)=\frac{f(\pi ^{-})+f(-\pi ^{+})}{2} zgodnie z Twoimi warunkami Dirichleta. Tylko nie wiem czemu dali Ci funkcje określoną na przedziale domkniętym...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Wrocław
Czyli wychodzi na to, że moje obliczenia są poprawne, jednak dalej nie rozumiem co dzieje się w linku, który podałeś - zaczynając od \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 maja 2018, o 21:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1302
Lokalizacja: hrubielowo
Rozpisz sobie te sumy to zobaczysz że część wyrazów się zeruje i zostaje tylko szukane \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{(2n-1)^2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwijanie f(x)=x^2 w szereg Fouriera.  Anonymous  1
 szereg Fouriera - Legendre'a  monia  4
 Szereg trygonometryczny.  Anonymous  1
 Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny Fouriera.  Anonymous  9
 Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl