Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Statystyka

Estymatory parametru m - zadanie 5

Strona 1 z 1

[ Posty: 7 ]

Autor

Wiadomość

zelek17 Offline

Tytuł: Estymatory parametru m

Napisane: 3 maja 2018, o 19:21

Posty: 14
Lokalizacja: Katowice

Niech $X_1,X_2, X_3,X_4$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie zmienną wartością oczekiwaną $m$ i wariancją. Rozważamy trzy estymatory parametru $m$ :
$m_1= \frac{1}{6} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{2}{3} X_3$ ,
$m_2= \frac{1}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{2}{5} X_3$ ,
$m_3= \frac{1}{3} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{3} X_3$ .
Który z estymatorów jest nieobciążony? Który z nich jest najlepszy?

Zgodnie z Wiki

Cytuj:

Estymator jest nieobciążony, jeśli wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości szacowanego parametru.

Najpierw biorę zbiór ${1,2,3}$ jako ${X_1,X_2,X_3}$ i obliczam wartość estymatorów.
$m_1=2,5$
$m_2=2,2$
$m_3=2$
Co dalej? Jeśli patrzeć na definicję, nie mam wartości oczekiwanej ( $m$ ) i nie mogę porównać.

W przypadku wyboru najlepszego z nich, porównuję wariancję. Ten, który ma mniejsza wariancję, ten lepszy. Jak wyliczyć wariancję nie mając odchylenia ani jakiejkolwiek innej danej?

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

leg14

Tytuł: Estymatory parametru m

Napisane: 3 maja 2018, o 20:06

Posty: 3049
Lokalizacja: Radom

A jak wyliczyłeś wartość oczekiwaną bez wartości oczekiwanej ani żadnej innej danej (źle jąobliczyłeś nawiasem mówiąc)?

Góra

zelek17 Offline

Tytuł: Estymatory parametru m

Napisane: 5 maja 2018, o 13:18

Posty: 14
Lokalizacja: Katowice

@squared dziękuję za wskazówki

Najpierw sprawdzam czy estymatory są nieobciążone.
Dla $m_1$

$\EE m_1=\EE\left( \frac{1}{6} X_{1} + \frac{1}{6} X_{2} + \frac{2}{3} X_{3}\right) = \frac{1}{6} \EE X_{1} + \frac{1}{6} \EE X_{2} + \frac{2}{3} \EE X_{3}=\\=\frac{1}{6} \EE \xi + \frac{1}{6} \EE \xi + \frac{2}{3} \EE \xi=\EE \xi=m$

Dla $m_2$
$\EE m_2=\EE\left( \frac{1}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{2}\right) = \frac{2}{5} \EE X_{2} + \frac{1}{5} \EE X_{2} + \frac{2}{5} \EE X_{2}=\\=\frac{3}{5} \EE \xi + \frac{2}{5} \EE \xi + \frac{2}{2} \EE \xi=\EE \xi=m$

Również w przypadku $m_3$ jest on nieobciążony.

Skoro wszystkie estymatory są nieobciążone to należy policzyć: $D^2m_1, D^2m_2, D^2m_3$ w analogiczny sposób jak wartość oczekiwaną (korzystając oczywiście z odpowiednich własności wariancji). Najlepszy estymator to ten z najmniejszą wariancją.

Własność wariancji, którą zastosuje:

$Var(m) = Em ^{2}$ − $(Em) ^{2}$

Dla $(Em) ^{2}$ wynosi $m ^{2}$ , co w przypadku $Em ^{2}$ ?

Góra

Pakro

Tytuł: Re: Estymatory parametru m

Napisane: 5 maja 2018, o 13:33

Posty: 137
Lokalizacja: Katowice

Przyjmij sobie, że wariancja (lub drugi moment) to jakaś $\sigma >0$ . Wtedy będziesz w stanie to porównać.

Góra

zelek17 Offline

Tytuł: Estymatory parametru m

Napisane: 5 maja 2018, o 13:57

Posty: 14
Lokalizacja: Katowice

Nic mi to nie mówi, możesz coś więcej rozpisać?

Góra

Pakro

Tytuł: Re: Estymatory parametru m

Napisane: 5 maja 2018, o 14:05

Posty: 137
Lokalizacja: Katowice

Przyjmij, że $D^2 X_i = \sigma$ i policz
$D^2(m_1)=\frac{1}{36} \sigma + \frac{1}{36} \sigma +\frac{4}{9} \sigma$ .
Skorzystałem tu z faktu, że liczbę spod wariancji wyciągamy z kwadratem i faktu, że zmienne $X_i$ są niezależne czyli są nieskorelowane.

Góra

SlotaWoj Offline

Tytuł: Re: Estymatory parametru m

Napisane: 5 maja 2018, o 23:18

Posty: 4211
Lokalizacja: Kraków PL

Pakro napisał(a):

Przyjmij, że $D^2 X_i = \sigma$

Ma być:

$D^2 X_i = \sigma^\textbf{2}$

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 7 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Probabilistyka » Statystyka

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
Estymacja parametru metodą momentów	MakCis	0
Rozkład statystyki; metoda momentów estymacji parametru	MakCis	0
Regresja - interpretacja oraz miano parametru "x"	lajta	0
Poziom ufności przy estymacji parametru w populacji	karolciiad	1
estymator zgodny parametru	kullcia	1

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]