szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 wrz 2007, o 23:00 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
  1. Dane jest wyrażenie
    w=\frac{\sin{x}}{\cos^{2}{x}\sqrt{1+\sin^{2}{x}}}.

    Stosując podstawienie t=\sin{x}+\sqrt{1+\sin^{2}{x}}, przedstawić je jako funkcję zmiennej t, tj. w=f(t). (4pkt.)
  2. Dla jakiej liczby całkowitej a, wielomian W(x)=x^{13}+x+90 jest podzielny przez V(x)=x^{2}-x+a? (5pkt.)
    1. rozwiąż nierówność:
      \log_{\frac{2}{3}}\left({4^{x^{2}+4x}+2^{x^{2}+4x-1}-\frac{1}{2}}\right)>0,
    2. rozwiąż równanie:
      log_{x}4+log_{2}x^2=5.
    (6pkt.)
  3. Znajdź zbiór środków cięciw okręgu x^{2}+y^{2}=25 przechodzących przez punkt A(3,0). (5pkt.)
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 7 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: Obrazek według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

:arrow: http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2007, o 23:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2470
Lokalizacja: BW
Tabela wyników:

\begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/4)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/6)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{altair3} & 3 & - & - & - & 3\mbox{pkt.}\,\,(15\%) \\
\mbox{luka52} & 4 & 2 & 6 & 5 & 17\mbox{pkt.}\,\,(85\%) \\
\mbox{robin5hood} & 3 & - & 4 & 4 & 11\mbox{pkt.}\,\,(55\%) \\
\mbox{Sylwek} & - & 4 & 6 & 5 & 15\mbox{pkt.}\,\,(75\%) \\
\hline\hline\end{array}


Przykładowe rozwiązania:

  1. Mamy tu
    t-\sin x=\sqrt{1+\sin^{2}x},

    tak więc:
    \sin x=\frac{t^{2}-1}{2t} \\ \sqrt{1+\sin^{2}x}=\frac{t^{2}+1}{2t} \\ \cos^{2}x=\frac{-t^{4}+6t^{2}-1}{4t^{2}}.

    Wynik:
    w=\frac{4t^{2}(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)(-t^{4}+6t^{2}-1)}.
  2. Załóżmy, że istnieje wielomian
    R(x)=\sum_{k=0}^{11}a_{j}x^{j},

    tj. że
    W(x)=V(x)R(x).

    Liczby a_{j} dla j=0,1,\ldots,11 muszą być całkowite. Można się o tym przekonać, wykonując dość długie dzielenie i wyrazić a_{j} w zależności od a.
    Inny sposób: Łatwo stwierdzić, że a_{11}=a_{10}=1, i jeśli j\leqslant 9 jest największym indeksem, tj. że a_{j} nie jest całkowite, to uzyskamy, iż współczynnik a_{j+2} także nie jest całkowity - sprzeczność.

    Tak więc, jeśli u jest liczbą całkowitą, to R(u) także. Skoro a\neq 0, to mamy, że całkowite są liczby: \tfrac{W(0)}{V(0)}=\tfrac{90}{a} i \tfrac{W(1)}{V(1)}=\tfrac{92}{a}. Stąd wynika, że a\in\{-1,1,-2,2\}. Widać, że a\neq -2. Ale liczby \tfrac{W(-1)}{V(-1)}=\tfrac{88}{a+2} i \tfrac{W(-2)}{V(-2)}=\tfrac{-8104}{a+6} też są całkowitymi, stąd wniosek, że a\neq 1\, a\neq -1.

    Więc a=2. I faktycznie:

    \frac{x^{13}+x+90}{x^2-x+2}=x^{11}+x^{10}-x^{9}-3x^{8}-x^{7}+5x^{6}+7x^{5}-3x^{4}-17x^{3}-11x^{2}+23x+45.
    1. Najpierw robimy stosowne założenia.
      Żądamy równoważnie, aby:
      0< 4^{x^{2}+4x}+\frac{1}{2}\cdot 2^{x^{2}+4x}-\frac{1}{2}

      Podstawiając y=2^{x^{2}+4x}, mamy: 0 czyli y\in\left(-\tfrac{3}{2},-1\right)\cup\left(\tfrac{1}{2},1\right).

      Ale y>0, więc \tfrac{1}{2}

      "Wracając do iksa": 2^{-1} tj. -1

      Wynik: x\in\left(-4;-2-\sqrt{3}\right)\cup\left(-2+\sqrt{3};0\right).
    2. Czynimy założenie x>0, \ x\neq 1. Postać równoważna: 2log_{x}{2}+2log_{2}{x}=5. Niech log_{2}{x}=t, tj. \tfrac{2}{t}+2t=5, co prowadzi do równania kwadratowego 2t^{2}-5t+2=0. Ma ono pierwiastki: t_{1}=2, \ t_{2}=\tfrac{1}{2}. Tak więc x=4 lub x=\sqrt{2}.
  3. Równanie prostych o wspólnym punkcie A(3,0) ma postać y=m(x-3). Punkty K_{i}(x_{1},y_{1}), \ L_{i}(x_{2},y_{2}) przecięcia cięciwy - zawartej w tej prostej - z okręgiem wyznaczy układ:

    \begin{cases}x^2+y^2=25 \\ y=m(x-3),\end{cases}

    który prowadzi do równania kwadratowego, mającego dwa pierwiastki x_{1}, \ x_{2}, gdyż \Delta>0:

    (m^{2}+1)x^{2}-6m^{2}x+9m^{2}-25=0.

    Aby wyznaczyć współrzędne środków cięciw, posłużymy się wzorami Viete'a: odcięta x_{0}=\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=\tfrac{3m^{2}}{m^{2}+1}, więc y_{0}=-\tfrac{3m}{m^{2}+1}. Zaś by znaleźć równanie poszukiwanej krzywej, rugujemy parametr m z ostatnich równań określających x_{0}, \ y_{0} przy założeniu 0\leqslant x_{0} Mamy, że: m^{2}=\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}}, tj. m=\mp\sqrt{\tfrac{x_{0}}{3-x_{0}}}, co po wstawieniu do drugiego, daje nam wzór y_{0}=\mp\sqrt{x_{0}(3-x_{0})}, który podnosimy do kwadratu i grupujemy:

    \left(x_{0}-\frac{3}{2}\right)^2+y_{0}^{2}=\frac{9}{4}.

    Krzywą, będącą zbiorem wszystkich środków cięciw okręgu x^{2}+y^{2}=25, zawierających punkt A(3,0), jest więc okrąg o środku S\left(\tfrac{3}{2},0\right) i promieniu r=\tfrac{3}{2}, a więc styczny do osi OY w punkcie (0,0).

    Zob. rys.:

    Obrazek


    Uwaga: Jest jedna tylko cięciwa, czyli ta zawarta w prostej prostopadłej do OX, tj. mająca równanie x=3, której "nie łapie" równanie y=m(x-3), ale jej środkiem jest punkt A, też leżący na wyznaczonym przez nas okręgu.
Góra
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 [Liga 2004] Pytania, uwagi do treści zadań...  Arek  20
 [Liga maturalna] Seria 9 (19.11.07r.-02.12.07r.)  bolo  0
 [Liga maturalna] Seria 8 (12.11.07r.-18.11.07r.), wyniki  bolo  1
 [Liga 2004] Oceny za zadania  Arek  2
 [Liga maturalna] Seria 6 (29.10.07r.-04.11.07r.), wyniki  bolo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl