szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Złotoryja
Znaleźć maksymalną możliwą objętość naczynia w kształcie walca, dla którego suma wysokości i obwodu podstawy nie przekracza 108\, cm.

Robię f-cje dwóch zmiennych x (promień podstawy), y (wysokość): f(x,y) =  \pi x^2y, szukam jej max, przy ograniczeniach: y + 2 \pi x  \le  108

Obliczam poch. cząstkowe, przyrównuje do zera:
\frac{ \partial f}{ \partial x} = 2x \pi y = 0
\frac{ \partial f}{ \partial y}=  \pi x^2 = 0  \Rightarrow x  \rightarrow 0 bo nie może być równy zero
Zatem w pierwszym warunku y \rightarrow  \infty wtedy f(x,y) max, ale mamy ograniczenie, zatem y \rightarrow 108 wtedy ( z uwzględnieniem ograniczenia) będziemy mieli max tej f-cji

Czy takie rozwiązanie jest "dopuszczalne"?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 12660
Ja szczerze mówiąc kompletnie nie rozumiem takiego rozumowania. Można poszukać ekstremów wewnątrz tego zbioru (tam maksimum nie znajdziesz), a potem sprawdzić sytuację na brzegu, tj. dla y+2\pix=108.
Oczywiście f przyjmuje tylko wartości dodatnie. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\pi f(x,y)=\pi^2x^2y\le \left( \frac{\pi x+\pi x+y}{3}  \right)^3 =\left(  \frac{y+2\pi x}{3} \right)^3 \le 36^3
czyli
f(x,y)\le  \frac{36^3}{\pi}
z równością dla \pi x=y=36, czyli x=\frac{36}{\pi}, \ y=36.

A jeśli nie znasz nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, to na brzegu podstawiasz np. y=108-2\pi x do wzoru na objętość i masz funkcję jednej zmiennej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:26 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jesteś w stanie wyobrazić sobie jaką objętość ma ten walec o wysokości 108?

Nie tak się szuka ekstremów warunkowych dla funkcji wielu zmiennych

Pomyśl, czy w ograniczeniu y+2\pi x\leq 108 nie można zastąpić nierówności równością? A jak już to uzasadnisz, to łatwo zredukujesz problem do szukania ekstremum funkcji jednej zmiennej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Złotoryja
No przecież... V tym większe im większe x i y, zatem mogę "zażądać" żeby w ograniczeniu zamiast znaku nierówności była równość, wtedy "wyciągnę" z tego ograniczenia warunek, który da mi max V,prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 12660
No tak, zgadza się, gdyby x,y>0 były takie, że
y + 2 \pi x <108, to z ciągłości istnieje np. takie y'>y, że
y'+2\pi x<108 oraz
\pi x^2y'>\pi x^2 y.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 maja 2018, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
No własnie: a potem przeczytaj ostatnie zdanie posta Premislava
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znaleźć położenie punktu - wektory  Math_s  6
 znaleźć punkt A  anka_naj  2
 Jak znaleźć punkt przecięcia sfery i prostej? - zadanie 3  SharpShooter  3
 równoległościan - wierzchołki, pole i objętość - zadanie 3  mejolga  1
 Znaleźć równanie prostej prostopadłej do dwóch prostych  Z_i_o_M_e_K  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl