szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2018, o 10:49 
Użytkownik

Posty: 5608
Lokalizacja: Kraków
Czy w grupie G=(-1,1) z działaniem x \diamond y = \frac{x+y}{1+xy} istnieje podgrupa właściwa, która jest przedziałem ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 maja 2018, o 12:28 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3983
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Załóżmy, że taka podgrupa istnieje. Wówczas jej domknięcie też jest (właściwą) podgrupą bo działanie * jest ciągłe, tzn. G jest grupą topologiczną. Jednak przedział (jednostronnie) domknięty nie może być grupą topologiczną (z żadnym działaniem) bo nie jest przestrzenią jednorodną (końców przedziału nie da się przenieść do wnętrza przez żaden autohomeomorfizm).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 08:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Mi się widzi, że każda nietrywialna podgrupa powinna być zbiorem gęstym i przeliczalnym w tym przedziale. Choć z tą przeliczalnością byłbym ostrożny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 10:38 
Użytkownik

Posty: 15123
Lokalizacja: Bydgoszcz
Funkcja \tanh jest izomorfizmem liczb rzeczywistych z dodawaniem z grupą w zadaniu. Trza wynika z faktu, że każda podgrupa (nieustanna) liczb rzeczywistych jest nieograniczona.

-- 14 maja 2018, o 09:41 --

arek1357 napisał(a):
Mi się widzi, że każda nietrywialna podgrupa powinna być zbiorem gęstym i przeliczalnym w tym przedziale. Choć z tą przeliczalnością byłbym ostrożny.


I słusznie. Nieprzeliczalny podzbior bazy Hamela wygeneruje nieprzeliczalną podgrupe
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 16:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
Jeszcze dodam, że orbitą każdego npa >0 w działaniu grupy na zbiorze (0;1)

są liczby:

a, a_{1}, a_{2},... \rightarrow 1

Podobnie jest z a<0 tyle, że do -1

Co już z tego wynika, że podgrupą nie może być jakiś przedział.

Może sprawę rozwinę i zapodam problem czy da się jakoś sensownie określić działanie grupowe na zbiorze:

<-1;1>

Jeżeli by było to na pewno topologia w której działanie grupowe i branie elementu odwrotnego byłoby ciągłe, nie byłaby tożsama z topologią naturalną indukowaną z R .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:11 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3983
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Jeżeli nie dbasz o topologię weź dowolną bijekcję na grupę \mathbb R i przenieś strukturę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
No tak ale jakbym chciał pozostać w topologii naturalnej...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:26 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3983
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
arek1357 napisał(a):
No tak ale jakbym chciał pozostać w topologii naturalnej...


W naturalnej topologii się nie da bo to nie jest przestrzeń jednorodna; patrz mój pierwszy post.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3273
Lokalizacja: blisko
No fakt ...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy H jest podgrupa G - zadanie 2  koliber1000  1
 Wolna podgrupa  sorcerer123  1
 zbiór An wszystkich permutacji parzystych jako podgrupa Sn  koleszka1  1
 Grupa i podgrupa  Lewap  2
 Dlaczego to nie jest podgrupa?  matfka  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl