szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 16:53 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Dzień dobry!

Jak poprawnie i bez stresu obliczyć ile okręgów zmieści się na okręgu?

Duży okrąg ma 46cm - małe mają 11cm. Duży okrąg powinien przecinać małe okręgi mniej-więcej w połowie (każdy z nich).

Jest na to jakiś precyzyjny wzór?

Chodzi o coś takiego:
Obrazek
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 8
Lokalizacja: Gdańsk
Prosty sposób dający odpowiedź w pewnym przybliżeniu.

Zakładając, że środki małych okręgów znajdują się na dużym okręgu wystarczy policzyć obwód większego i podzielić przez średnice małego.

O_1 = 2\cdot \pi \cdot 46 \approx 289

d_2 = 22

L=\frac{O_1}{d_2} \approx 13

Oczywiście dla podanych wymiarów ta metoda generuje bardzo duży błąd, ale wraz ze wzrostem wielkości dużego okręgu (mniejszy promień krzywizny) i spadkiem wielkości małych okręgów dokładność rośnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 139
Lokalizacja: Zamość
Jeśli chodzi o dokładniejszy wynik:
Niech R będzie promieniem większego okręgu, a r promieniami małych.
Narysujmy promienie większego okręgu wychodzące ze środka, tak, że ich końcami są punkty styczności małego okręgu z większym. Niech kąt pomiędzy tymi promieniami wynosi \alpha. Odległość między punktami styczności okręgów jest średnicą małego okręgu, więc jest równa \red 2r. Z twierdzenia cosinusów: (2r)^{2} = R^{2} + R^{2} - 2R^{2} \cdot \cos \alpha = 2R^{2} (1 - \cos \alpha). Stąd \frac {4r^{2}}{2R^{2}} = 1- \cos \alpha, czyli \cos \alpha =1 - \frac {2r^{2}}{R^{2}}. Mniejszych okręgów zmieści się \frac {2 \pi}{\alpha} (i oczywiście należy później zaokrąglić w dół do jedności, bo liczba kół musi być całkowita).
W naszym przypadku, \cos \alpha = 1 - \frac {242}{2116}  \approx 0,88563327, a stąd patrząc na tablice trygonometryczne (lub bardziej zaawansowane narzędzia) możemy wywnioskować, że \alpha  \approx 0,48294 (w radianach). Stąd liczba kół wynosi \frac {2 \pi}{\alpha}  \approx  \frac {6,2831853}{0,48294}  \approx 13,0102814 \approx 13. :)

EDIT: Jednak pan Kruszewski ma rację, tekst podkreślony na czerwono jest nieprawdziwy. Można to wziąć jedynie za przybliżenie (co widać na rysunku p. Kruszewskiego).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2018, o 18:54 
Użytkownik

Posty: 5885
Lokalizacja: Staszów
Zauważamy, że:

\alpha = \arcsin \frac{r}{R}

zatem ilość k okręgów o promieniu r stycznych do siebie i rozmieszczonych na okręgu o promieniu R jest nie większa niż:

k \le \frac{360^o}{2 \alpha }, a k \in \mathbb{N_+}

Obrazek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 00:34 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Szanowni!

Dziękuję serdecznie za odpowiedzi. Jestem jednak matematycznym laikiem - bardzo proszę o wytłumaczenie, krok po kroku, jak to ugryźć.

A teraz powiem, jaki problem mnie trapi. Chcę zrobić palenisko grilla. :)
Mam ruszt (oczywiście okrągły) i tenże ruszt chcę oprzeć na palisadzie o średnicy 11\:cm.
Ile palików potrzebuję? :)

Jutro podam dokładną średnicę rusztu - 46 wyssałem z palca, chociaż rozumiem, że matematyka jako królowa nauk może podstawić we wzorze dowolną wartość.

Obiecuję także, że prześlę zdjęcia gotowego paleniska, wykonanego zgodnie z podanymi obliczeniami. :)

Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 05:43 
Użytkownik

Posty: 15369
Lokalizacja: Bydgoszcz
Coś jednak musisz wiedzieć. Np średnicę grilla. Jak jesteś laikiem, to nie męcz się ze skomplikowanymi wzorami: wytnij z papieru kilkanaście kółek o średnicy 11cm i rozłóż na trawniku tak, aby utworzyły koło o odpowiadającej Ci średnicy.
Metoda ma tę zaletę, że działa nie tylko dla grilli okrągłych, ale równie dla innych kształtów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2018, o 11:41 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Szanowni,

serdecznie dziękuję za odpowiedzi. Wzory spowodowały u mnie traumę:D

Rusztko grilla ma dokładnie 59 cm. Rozumiem, że zgodnie z 1 wzorem potrzebuję 16/17 palisad w zależności jak osadzę ruszt na palisadzie?

Dzięki!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 2 zadania - wielokąty, koła i okręgi  pentel  1
 Trójkąt opisany na okregu  Malibu  1
 Promień okręgu i pole trójkata.  zlafoka  1
 Okręgi a sieczna  mol_ksiazkowy  2
 Dane są dwa okręgi styczne zewnętrznie  karinas15  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl