szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 14:40 
Użytkownik

Posty: 23
Na bokach BC i CA trójkąta ABC zbudowano, po jego zewnętrznej stronie takie prostokąty BCDE oraz CAGH, że CD=CA oraz BC=CH. Punkt Mjest środkiem odcinkaAB. Wykaż, że CM = \frac{1}{2} DH.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 15:51 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6194
Masz do porównania środkową CM trójkąta ABC i bok DH trójkąta CDH.
Przyjmuję:
\left| BC\right| = \left| CH\right|=x\\ 
\left| AC\right| = \left| CD\right|=y\\
 \angle ACB= \alpha \\
 \angle DCH= \pi - \alpha

1) Z tw. kosinusów dla trójkąta CDH:
\left| DH\right|^2=x^2+y^2+2xy\cos  \alpha

2) Długość środkowej w trójkącie ABC:
\left| CM\right|=  \frac{1}{2} \sqrt{2x^2+2y^2-\left| AB\right|^2 }=...
korzystając z tw. kosinusów dla trójkąta ABC:
...= \frac{1}{2} \sqrt{2x^2+2y^2-(x^2+y^2-2xy\cos \alpha )} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+2xy\cos  \alpha}=\\= \frac{1}{2} \left| DH\right|
dostaje się tezę:
\left| CM\right|= \frac{1}{2} \left| DH\right|
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 1021
Lokalizacja: Ostrołęka
Trochę bardziej elementarnie:

Niech C' będzie odbiciem C względem M. Wówczas ACBC' jest równoległobokiem. Proste rachunki na kątach dają dam, że \angle HCD = \angle CBC', co więcej CH = CB oraz C'B = CA = CD. Zatem trójkąty HCD i CBC' są przystające. Stad DH = CC' = 2CM, jako że przekątne w równoległoboku się połowią.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Istnieje trójkąt o bokach długości  qkiz  2
 wysokości maja długości  loooz  2
 długość odcinka - zadanie 13  basia_er  4
 Długości przyprostokątnych  kaka025  2
 Nierówność, długości boków i promień okręgu wpisanego.  pelas_91  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl