szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 20:21 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
G - zbiór podobieństw płaszczyzny

G = \left\{ f_\alpha : \RR^2  \rightarrow \RR^2 : ||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||, \alpha > 0\right\}

1. Pokazać że G jest grupą ze składaniem przekształceń jako działaniem i czy ta grupa jest abelowa?

2. h: G  \rightarrow (0, \infty), / h(f_\alpha) = \alpha
Sprawdzić czy to homomorfizm z działaniem, mnożenie

3.grupa H = \left\{  g:  \RR^2  \rightarrow \RR^2: ||g( \vec{x}) -g( \vec{y} )|| = || \vec{x} - \vec{y} || \right\}
Czy grupa h izometrii płaszczyzny jest jądrem homomorfizmu h? Czy jest podgrupą normalną grupy G?

Zacznijmy może od powiedzenia co to jest ta grupa G i o co w niej chodzi
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 20:25 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Zacznijmy może od powiedzenia co to jest ta grupa G i o co w niej chodzi

Czego nie rozumiesz w definicji grupy G?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{y} )|| tego zapisu, który daje wynik normę wektorów odpowiednio pomnożoną przez \alpha
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 20:36 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
Ten zapis nie daje żadnego wyniku. Masz po prostu warunek ||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} || mówiący, że przekształcenie f_\alpha jest podobieństwem o skali \alpha.

Nieco formalniej powinno to być zapisane tak:

G = \left\{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2 : (\exists \alpha>0)(\forall \vec{x},\vec{y}\in\RR^2)||f( \vec{x}) -f( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||\right\}

JK

PS
Zapis ||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{y} )|| oznacza odległość pomiędzy f_\alpha( \vec{x}) i f_\alpha( \vec{y} ).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Skoro to jest warunek to jak wygląda funkcja z
f: \RR^2 \rightarrow \RR^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 21:05 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
Nie rozumiem pytania: co to znaczy "jak wygląda"?

Zapis

G = \left\{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2 : (\exists \alpha>0)(\forall \vec{x},\vec{y}\in\RR^2)||f( \vec{x}) -f( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||\right\}

czytamy jako: "Zbiór tych funkcji f przekształcających \RR^2 w \RR^2, które spełniają warunek (\exists \alpha>0)(\forall \vec{x},\vec{y}\in\RR^2)||f( \vec{x}) -f( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||".

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2018, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Element neutralny to:

||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{x} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{x} || =0 ?
Skoro działanie składania to nasuwa się myśl o identyczności jako e_f
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 00:48 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Element neutralny to:

||f_\alpha( \vec{x}) -f_\alpha( \vec{x} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{x} || =0 ?

To co napisałeś nie ma żadnego sensu. Wskazuje też na to, że dalej nie rozumiesz strony formalnej tej definicji.

aolo23 napisał(a):
Skoro działanie składania to nasuwa się myśl o identyczności jako e_f

I to jest zdecydowanie lepszy trop.

Tak naprawdę pokazanie, że G jest grupą polega nie tyle na sprawdzaniu aksjomatów grupy, tylko na pokazaniu, że jest to podgrupa grupy bijekcji płaszczyzny.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 08:26 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Okej trzeba pokazać ze działanie składanie jest zamknięte, i że działanie składanie elementu grupy G i elementu przeciwnego należą go G
Ciężko mi się za to wziąć bo nie ma jakiegoś przejścia,wzoru tylko definicja, a może aż.
Można zobaczyć rozwiązanie 1 punktu? Jak już to zobaczę to z 2 i 3 powinienem sobie poradzić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 08:44 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Okej trzeba pokazać ze działanie składanie jest zamknięte,

:?:
Trzeba pokazać, że złożenie podobieństw jest podobieństwem.

aolo23 napisał(a):
i że działanie składanie elementu grupy G i elementu przeciwnego należą go G

Trzeba pokazać, że element neutralny składania, czyli identyczność, jest podobieństwem.
Trzeba też pokazać, że zbiór podobieństw jest zamknięty na branie elementu odwrotnego względem składania, a jest to odwzorowanie odwrotne. Wobec tego trzeba pokazać, że jeśli f jest podobieństwem, to f^{-1} jest podobieństwem.

aolo23 napisał(a):
Ciężko mi się za to wziąć bo nie ma jakiegoś przejścia,wzoru tylko definicja, a może aż.

Nie potrzebujesz nic poza definicją podobieństwa:

(\exists \alpha>0)(\forall \vec{x},\vec{y}\in\RR^2)||f( \vec{x}) -f( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||.

aolo23 napisał(a):
Można zobaczyć rozwiązanie 1 punktu? Jak już to zobaczę to z 2 i 3 powinienem sobie poradzić

Korzystniejsze dla Ciebie będzie, jak sam spróbujesz to zrobić - to sprawdzi, czy rozumiesz zagadnienie. Jak dostaniesz jedno rozwiązanie i zrobisz pozostałe, to zostanie zweryfikowana tylko Twoja umiejętność naśladowania.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
W jaki sposób mam pokazać że jeśli f \circ f = Id i jest to podobieństwo
Tłumaczenie, że dla mnie(i nie tylko ) ten przykład jest ciężki, raczej nie przynosi skutków
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 20:35 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
W jaki sposób mam pokazać że jeśli f \circ f = Id i jest to podobieństwo

A skąd Ty wytrzasnąłeś coś takiego?! Nic takiego nie masz pokazać. Napisałem Ci wyraźnie:
Jan Kraszewski napisał(a):
1. Trzeba pokazać, że złożenie podobieństw jest podobieństwem.
2. Trzeba pokazać, że element neutralny składania, czyli identyczność, jest podobieństwem.
3. Trzeba też pokazać, że zbiór podobieństw jest zamknięty na branie elementu odwrotnego względem składania, a jest to odwzorowanie odwrotne. Wobec tego trzeba pokazać, że jeśli f jest podobieństwem, to f^{-1} jest podobieństwem.

Który z tych trzech punktów skojarzyłeś z f \circ f = Id ?

Zajmij się nimi po kolei. Najprostszy jest punkt 2. Masz definicję podobieństwa (na wszelki wypadek jeszcze raz przypomnę:

(\exists \alpha>0)(\forall \vec{x},\vec{y}\in\RR^2)||f( \vec{x}) -f( \vec{y} )|| = \alpha || \vec{x} -\vec{y} ||

- to jest definicja tego, że odwzorowanie f:\RR^2\to\RR^2 jest podobieństwem) i masz sprawdzić, że identyczność na \RR^2 spełnia ten warunek. Proponuję najpierw spojrzeć na ten fakt geometrycznie (a nie "znaczkowo") i uświadomić sobie, że jest oczywisty.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Odległość między funkcją od dwóch różnych argumentów, którymi są jakieś wektory jest równa odległości pomiędzy tymi dwoma wektorami przeskalowanymi o \alpha
I co tutaj jest identycznością, ta sama definicja w sobie,
I co ja ma tutaj składać? jeśli pytamy się o punkt 2

Spojrzeć geometrycznie byłoby milej gdyby f(x) było zadane jakimś wzorem, a tak rozumiem tylko prawą część "znaczków"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 21:18 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
aolo23 napisał(a):
Odległość między funkcją od dwóch różnych argumentów, którymi są jakieś wektory jest równa odległości pomiędzy tymi dwoma wektorami przeskalowanymi o \alpha
(...)
Spojrzeć geometrycznie byłoby milej gdyby f(x) było zadane jakimś wzorem, a tak rozumiem tylko prawą część "znaczków"

Uff... Tak na wszelki wypadek zapytam się - słyszałeś kiedykolwiek o podobieństwie? Np. w szkole? Albo chociaż o jednokładności?

aolo23 napisał(a):
I co tutaj jest identycznością, ta sama definicja w sobie,

Masz sprawdzić, że odwzorowanie identycznościowe Id:\RR^2\to \RR^2 zadane wzorem Id(\vec{x})=\vec{x} spełnia definicję podobieństwa.

aolo23 napisał(a):
I co ja ma tutaj składać? jeśli pytamy się o punkt 2

Nic nie masz składać. Pokazujesz, że zbiór podobieństw jest podgrupą grupy bijekcji \RR^2, w której działaniem jest złożenie. To, że w grupie bijekcji Id jest elementem neutralnym (czyli, że dla dowolnej bijekcji \varphi:\RR^2\to \RR^2 mamy \varphi\circ Id=Id\circ \varphi=\varphi) to wiadomo (choć jeśli nie jesteś tego pewny, to sobie sprawdź), Ty masz tylko pokazać, że Id należy do rozważanego zbioru podobieństw.

Bo mam nadzieję że wiesz, jak sprawdza się, że podzbiór grupy jest jej podgrupą...

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 sprawdzic, zbior tworzy grupę abelową  dżi-unit  1
 Warunek aby zbiór był warstwą lewostronną grupy  mazi_piotrek  1
 Zbadać czy zbiór z działaniem tworzy grupę.  kolezankaqq  1
 Zbiory, pierścienie, grupy - zbiór zadań  frasu  7
 Wolna grupa abelowa generowana przez zbior  leg14  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl