szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 14:53 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Warszawa
Witam,
Mam wzór:
n^{ \frac{n}{2} } \le n!  \le   \left(  \frac{n+1}{2} \right)^{n}
Moje pytanie brzmi skąd jest ten wzór? Szukałem w internecie i znalazłem że jest to oszacowanie Eulera lub oszacowanie Gaussa lecz nigdzie nie umiem znaleźć typowej definicji i dowodu tego.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 14:54 
Użytkownik

Posty: 12043
Czym jest tutaj k?

Nie miało być tak:
n^{ \frac{n}{2} } \le n! \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n}
:?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 14:56 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Warszawa
Tak, mój błąd, przepraszam. Miało być oczywiście n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 15:08 
Użytkownik

Posty: 1021
Lokalizacja: Ostrołęka
Nie wiem jak te oszacowania się nazywają, ale mogę pomoc w dowodzie dając wskazówki.

Pierwsza nierówność podniesimy do kwadratu i zaczynamy od lekkiego przekształcenia produktu

n^n \le (n!)^2 =   \prod_{k=1}^{n} k\cdot k = \prod_{k=1}^{n} k \cdot (n-k+1)

Druga nierówność: podnieś stronami do potęgi \frac{1}{n} i spróbuj użyć nierówności miedzy średnimi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 12043
Tak właściwie to zapisanie
(n!)^2= \prod_{k=1}^{n} k \cdot (n-k+1)
pozwala udowodnić też tę drugą nierówność, korzystając ze słabszego narzędzia niż nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (choć warto ją znać), wystarczy bowiem udowodnić, że
k(n-k+1)\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^2, co się sprowadza po prostych przekształceniach do
nieujemności pewnego kwadratu różnicy, a następnie wymnożyć n takich nierówności dla k=1,2\ldots n (oczywiście wówczas każdy czynnik postaci k(n-k+1) jest dodatni).
Acz można powiedzieć, że to też jest skorzystanie z nierówności między średnimi, tylko że n razy dla dwóch zmiennych, a nie raz dla n zmiennych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 16:22 
Użytkownik

Posty: 1021
Lokalizacja: Ostrołęka
A, rzeczywiście, słuszna uwaga : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 17:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1127
Lokalizacja: hrubielowo
A z drugiej strony mamy ogólniejszą nierówność. Dla dodatniego ciągu arytmetycznego \left\{ a_n\right\}_{n\in\NN} zachodzi:

\sqrt{a_1a_n} \le  \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}  \le  \frac{a_1+a_n}{2}

kładąc a_n=n i podnosząc stronami nierówność do n dostajemy tezę. Dowód tej ogólniejszej nierówności można przeprowadzić indukcyjnie (szczególnie lewej części, prawa to nierówność między średnimi).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 12043
No, faktycznie, dobre spostrzeżenie, kiedyś już pojawiło się na forum takie zadanie.
Nierówność \sqrt{a_1a_n} \le \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} można też udowodnić bez indukcji (ostatnio się obraziłem na indukcję, jak musiałem coś udowadniać przez indukcję pozaskończoną i nie najlepiej mi to wyszło):
podnosimy nierówność stronami do potęgi 2n, co jest przekształceniem równoważnym, gdyż obie strony nierówności są dodatnie, otrzymując postać (a_1a_n)^n\le (a_1a_2\ldots a_n)^2 i zauważamy, że zachodzi nierówność
a_k a_{n-k+1}\ge a_1 a_n \ (*)
dla k=1\ldots n.
Odnotujmy bowiem, że im większa jest różnica między dodatnimi liczbami x,y o ustalonej sumie a, tym mniejszą wartość ma iloczyn xy, tj. w dodatnich xy>(x-\epsilon)(y+\epsilon) dla 0<\epsilon <\min\left\{ x,y\right\} i x+y=a.
Natomiast zachodzi równość a_k+a_{n-k+1}=(a_1+(k-1)r)+(a_n-(k-1)r)=a_1+a_n,
gdzie r to różnica w ciągu arytmetycznym (a_n)_{n=1}^{\infty}.

Mnożymy stronami nierówności (*) dla k=1\ldots n i otrzymujemy
(a_1a_n)^n\le \left( a_1 a_2\ldots a_n\right) ^2,
c.k.d.

-- 16 maja 2018, o 20:42 --

Ech, trochę źle to zapisałem symbolami, bo się spieszyłem, ale w każdym razie to jest prawda:
Cytuj:
im większa jest różnica między dodatnimi liczbami x,y o ustalonej sumie a, tym mniejszą wartość ma iloczyn xy

Trzeba by to rozpisać bardziej na minimach i maksimach albo założyć bez zmniejszenia ogólności np. x>y (zarówno wyrażenie x+y, jak i xy zależy symetrycznie od x,y).
A w ogóle za dużo tu zamieszania w moim poście, niech ta ustalona suma czynników to 2a, wówczas iloczyn równy jest (a-d)(a+d) dla pewnego d\in \RR spełniającego 0<d<a, tak dużo prościej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 koło a graf Eulera  manduka  0
 Cykl Eulera i Hamiltona  juna8001  2
 dowód dla wniosku z wzoru Eulera  przyszly_naukowiec  4
 współczynniki Gaussa  alfa123  1
 oszacowanie wystarczającej liczby rzutów kostką  kolosek  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl