szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
f(x) = xe^{-x^2}

Rozwinięcie w szereg:

Najpierw wezmę sobie rozwinięcie w szereg funkcji e^x

\sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!} + R_n, gdzie R_n, to n-ta reszta Lagrange'a.

No i teraz xe^{-x^2}

x(1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3!} + \dots + \frac{(-1)^{n-1} x^{2(n-1)}}{(n-1)!} + R_n) = x - x^3 + \frac{x^5}{2} - \frac{x^7}{3!} + \dots + \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(n-1)!} + xR_n

Czyli ten szereg będzie wyglądał tak: \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(n-1)!}
Mam nadzieję, że się nie pomyliłem.

Jednak nie bardzo wiem jak mam promień zbieżności takiego szeregu obliczyć. Wiem, że są wzory, ale to dla x^n chyba, a nie dla x^{2n-1}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 17:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
ajpierw wezmę sobie rozwinięcie w szereg funkcji e^x

\sum_{n=0}^{ \infty }  \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!} + R_n, gdzie R_n, to n-ta reszta Lagrange'a.

Nie. Jest różnica między sumą a szeregiem. Suma jest skończona a szereg nie (w potocznym/intuicyjnym rozumieniu) i dlatego szereg nie ma żadnej reszty Lagrange'a. Równość powyżej nie jest prawdziwa (a przynajmniej bardzo nie intuicyjna jeśli ktoś by chciał dyskutować że jednak równość ta jest prawdziwa bo przecież to jest wzór Taylora a nie szereg itd).

Cytuj:
Czyli ten szereg będzie wyglądał tak: \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(n-1)!}

Nie. Bo dla n=0 w mianowniku dostaniesz \left( -1\right)! co nie ma sensu.

Żeby wyznaczyć rozwinięcie w szereg xe^{-x^2} można zauważyć że

e^t=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{t^n}{n!}

Kładąc t \rightarrow -x^2 mamy

e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nx^{2n}}{n!}

Mnożąc stronami przez x dostajemy

xe^{-x^2}=\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!}

Promień zbiezności można badać standardowo twierdzeniem Cauchego-Hadamarda lub użyć jakiegoś kryterium zbieżności np spostrzeżenie że:

\left( \forall x\in\RR\right)  \lim_{n \to  \infty } \left| \frac{ \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+3}}{(n+1)!}}{ \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!}}\right|=0

wystarczy by przyjąć promień zbieżności R= \infty i tym samym szereg jest zbieżny do swojej granicy na \RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 18:22 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
Janusz Tracz napisał(a):

Promień zbiezności można badać standardowo twierdzeniem Cauchego-Hadamarda


No właśnie w tym twierdzeniu jest założenie, że x musi być do potęgi n, a tutaj nie jest i się pogubiłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 18:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
To prawda. Ale twierdzenie można modyfikować choć ja nigdy się w to nie bawię. Wolę przekształcić szereg tak żeby było t^n i zastosować Cauchego-Hadamarda do szeregu zmodyfikowanego.

\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!}=x\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nx^{2n}}{n!}=x\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nt^{n}}{n!}

równość ta jest prawdziwa dla t=x^2. Z drugiej strony mogę badać za pomocą tw Cauchego-Hadamarda szereg \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nt^{n}}{n!}. Dostając że t\in\RR ale skoro t=x^2 to x\in\RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
Janusz Tracz napisał(a):
Dostając że t\in\RR ale skoro t=x^2 to x\in\RR


Nie chciałbym, żeby to brzmiało jakbym się czepiał, po prostu chciałbym wszelkie wątpliwości rozmyć:

Jakie mogę wziąć rzeczywiste x dla t = -2 \in \RR?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 21:38 
Administrator

Posty: 22399
Lokalizacja: Wrocław
Euler41 napisał(a):
po prostu chciałbym wszelkie wątpliwości rozmyć:

Chyba rozwiać...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
Tak, przepraszam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 710
Lokalizacja: Polska
Ugh. Z twierdzenia Cauchy'ego Adamarda masz promień zbieżności t \in R, a w szczególności t \ge 0 definitywnie zawiera się w tym promieniu zbieżności
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 22:25 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
A to, że wyrzucimy sobie tego x'a rozumiem, że nic nie zmienia?

Czyli promień zbieżności będzie:
\frac{1}{ \lim_{n \to  \infty } \left|  \frac{(-1)^n}{n!}\right|  } =  \frac{1}{\lim_{n \to  \infty } n!} =  0?

Zawsze mogę tak bezkarnie sobie wyrażenie z x'em dać przed szereg przy liczeniu promienia zbieżności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 22:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Nie chciałbym, żeby to brzmiało jakbym się czepiał, po prostu chciałbym wszelkie wątpliwości rozmyć:

Takie wątpliwości rozwiewa odwołanie się do definicji przedziału. Z tw Cauchy’ego-Hadamarda dostajesz t\in\RR czyli innymi słowy - \infty <t< \infty lub jeszcze inaczej

\begin{cases} - \infty <t\\ t< \infty  \end{cases}

Wracając ze zmienną t do zmiennej x warunek ten będzie wyglądał:

\begin{cases} - \infty <x^2 \ \ \left( \mathbf{1}\right) \\ x^2< \infty  \ \ \left( \mathbf{2}\right)\end{cases}

Warunek \left( \mathbf{1}\right) jest spełniony dla każdego x\in\RR jest to oczywiste. Warunek \left( \mathbf{2}\right) też jest spełniony dla każdego x\in\RR. Klamra jest równoważna ze koniunkcją warunków, \left( \mathbf{1}\right) \wedge \left( \mathbf{2}\right) \Rightarrow x\in\RR

Co do kolejnego:
Cytuj:
Zawsze mogę tak bezkarnie sobie wyrażenie z x'em dać przed szereg przy liczeniu promienia zbieżności?

Nie i tak. Prawdą jest że:

\sum_{}^{}a_n x=x \sum_{}^{} a_n

ale absolutną nieprawdą jest że:

\red{\sum_{}^{}a_n x^n=x^n \sum_{}^{} a_n}

Więc to zależy co rozumiesz przez stwierdzenie "bezkarnie sobie wyrażenie z x'em dać przed szereg"
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
Janusz Tracz napisał(a):

\sum_{}^{}a_n x=x \sum_{}^{} a_n

ale absolutną nieprawdą jest że:

\red{\sum_{}^{}a_n x^n=x^n \sum_{}^{} a_n}

Więc to zależy co rozumiesz przez stwierdzenie "bezkarnie sobie wyrażenie z x'em dać przed szereg"


Mam namyśli sam x, bez żadnego n, bo rozumiem, że traktujemy to jak stałą?

No i nie wiem czy dobrze mi wyszedł promień zero, bo coś pisałeś, że nieskończoność?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 22:42 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
Mam namyśli sam x, bez żadnego n, bo rozumiem, że traktujemy to jak stałą?

W takim razie wolno Ci wyciągnąć przed szereg.
Cytuj:
No i nie wiem czy dobrze mi wyszedł promień zero, bo coś pisałeś, że nieskończoność?

No pisałem że promień to \infty i nadal podtrzymuje to stwierdzenie.
Cytuj:
\frac{1}{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{(-1)^n}{n!}\right| } = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } n!} = 0

To nie jest prawda. Przecież tak nie działają ułamki. Powinno być:
R=\frac{1}{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{(-1)^n}{n!}\right| }=\frac{1}{ 0^+ }= \infty

gdy liczysz promień dla szeregu \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^nt^{n}}{n!} stąd

t\in\RR \Rightarrow x^2\in\RR \Rightarrow x\in\RR
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2018, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
Dziękuję.

W takim razie jakbym miał taki szereg:
\sum_{n+1}^{\infty} nx^{n-1} =  \frac{1}{x}  \sum_{n+1}^{\infty} nx^n

R = 0
?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 06:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1126
Lokalizacja: hrubielowo
Cytuj:
W takim razie jakbym miał taki szereg:
\sum_{n+1}^{\infty} nx^{n-1} =  \frac{1}{x}  \sum_{n+1}^{\infty} nx^n

Raczej
\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} =  \frac{1}{x}  \sum_{n=1}^{\infty} nx^n
Cytuj:
R = 0

Nie, skąd taki wniosek? Jeśli masz wątpliwości to używaj twierdzeń.

R=  \frac{1}{ \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{a_n} } , gdzie a_n=n

Ukryta treść:    

Więc liczymy

R=  \frac{1}{ \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{n} }= \frac{1}{1}=1

Przejście to argumentujemy znanym faktem \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 oraz arytmetyką granic.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 szereg Fouriera - zadanie 80  monikap7  0
 Szereg potęgowy  ariadna  1
 Szereg Tayora  lexmark  0
 Rozwinąć w szereg Fouriera sinusów  placky  0
 Rozwiniecie funkcji w szereg potegowy - zadanie 3  leg14  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl