szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 10:03 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Promień zbieżności szeregu potęgowego \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n ^{3} } wynosi R  \in \left( 0, \infty \right)
Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego \sum_{n=0}^{\infty} 2 ^{3n ^{4}+n}a _{n}x ^{n ^{4} }

Moja wątpliwość jest następująca. Jakie wpływ na szukanie rozwiązania ma fakt, że w pierwszym z szeregów występuje x w potędze n ^{3}, a w drugim w potędze n ^{4} ?

Mam jeszcze jedno pytanie, mianowicie o obliczanie promienia zbieżności. Jest oczywiście wzór Cauchy'ego-Hadamarda, ale natknąłem się też na wzory: \frac{1}{R}= \lim_{ n\to \infty }  \frac{a _{n} }{a _{n+1} } oraz \frac{1}{R} =  \lim_{n \to \infty}  \frac{1}{ \sqrt[n]{\left| a _{n} \right| } }
Chciałbym się dowiedzieć czy te wzory rzeczywiście działają i jeśli tak to z czego się wzięły. Byłbym wdzięczny za szybką odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 15:32 
Gość Specjalny

Posty: 5793
Lokalizacja: Toruń
Te wzory pochodzą z kryterium d'Alemberta oraz z kryterium Cauchy'ego. Jednak trzeba mieć coś na uwadze -- są one dla szeregów postaci
\sum_n a_n x^n.
U Ciebie ciąg (a_n) jest nieco inny. Tj. dla szeregu
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n ^{3} } = a_0 + a_1 x + 0 x^2 + \ldots + \ldots 0 x^7 + a_2 x^8 + \ldots
ciąg współczynników to (b_n)_n = (a_0, a_1, 0, 0, \ldots, 0, a_2, 0, \ldots), więc
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n] {b_n}}.
Mamy \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n] {b_n} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt{n^3} {a_n}, gdyż zera nie wpływają na \limsup jeśli pozostałe wyrazy są dodatnie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 promien zbieznosci - zadanie 4  balbyn  3
 Promień zbieżności - zadanie 22  teusiek  15
 Promień zbieżności - zadanie 13  Tomy666  1
 promień zbieżności  ggx  4
 Promień zbieżności - zadanie 5  spidi_pl  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl