szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 10:10 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Niech F(x)=\left(   \sum_{n=0}^{\infty}  \frac{(3x) ^{2n} }{n^{2}+2 \sqrt{n}+3 }    \right)

Funkcja G jest określona w otoczeniu zera wzorem G(x) =  \frac{1}{F(x)} Czy funkcja G ma drugą pochodną określoną w 0? Uzasadnij odpowiedź. Jeśli tak, to oblicz G''(0).

Od razu uprzedzę, że myślałem sporo nad tym zadaniem i nie wiem jak je ugryźć.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2018, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 12537
Wewnątrz przedziału zbieżności (tutaj łatwo tenże przedział znaleźć i oczywiście zero do niego należy) szereg potęgowy zadaje funkcję klasy C^{\infty}.

Zgodnie z konwencją w szeregach potęgowych 0^0=1, zatem F(0)\neq 0. Z ciągłości F(x) nie zeruje się w pewnym otoczeniu zera.
Policz F'(0) oraz F''(0) różniczkując wyraz po wyrazie.

No i potem wstaw po prostu do wzoru \left( \frac{1}{F(x)}\right)''= \frac{-F''(x)F(x)+2(F'(x))^2}{(F(x))^3}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2018, o 10:47 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Dzięki to mi sporo wyjaśniło. Głównie miałem problem z tym jak ominąć fakt że teoretycznie F(0)=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 maja 2018, o 12:45 
Użytkownik

Posty: 15128
Lokalizacja: Bydgoszcz
A z jakiej teorii wynika, że F(0)=0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2018, o 15:17 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Ze zdrowego rozsądku. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że gdy wstawimy x=0, to wyrazy szeregu się wyzerują. :P
Teraz już wiem, że to nieprawda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2018, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 768
Lokalizacja: Polska
Premislav napisał(a):
Zgodnie z konwencją w szeregach potęgowych 0^0=1, zatem F(0)\neq 0.


A ta konwencja nie wynika poniekąd z faktu, że \lim_{x \to 0} x^0 = 1?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbadaj zbieżność szeregu...  mm34639  3
 x0 w obliczaniu zbieznosci szeregu potegowego  Naiya  2
 Zbieznosc szeregu potegowego  haxo  5
 Zbieznosc szeregu funkcyjnego  Gnomek  0
 Funkcja kwadratowa i szereg Fouriera  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl