szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2018, o 12:30 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Gdańsk
Jaka jest struktura dowodu przez sprzeczność, powiedzmy że chcę udowodnić p \Rightarrow q. Czy kontrapozycja i dowód przez sprzeczność to to samo?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2018, o 19:01 
Użytkownik

Posty: 151
Lokalizacja: obecnie Łódź
Dowód przez doprowadzenie do sprzeczności różni się od zasady kontrapozycji tym, że w tym pierwszym nie musimy mieć do czynienia z implikacją. Przykład takiego dowodu to dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych. Zakładamy, że istnieje ich skończenie wiele: p_1,p_2,...,p_n i dochodzimy do wniosku, że p_1p_2\cdot...\cdot p_n+1 także jest liczbą pierwszą, co stoi w sprzeczności z wyjściowym założeniem.
Symbolicznie dowód przez doprowadzenie do sprzeczności możemy zapisać tak: (p \Rightarrow  \neg p) \Rightarrow \neg p.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2018, o 21:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 66
Lokalizacja: Kraków
Dowody służą do dowodzenia twierdzeń matematycznych.
Twierdzenia matematyczne najczęściej sformułowane są w postaci implikacji (wynikania, jeżeli ... to ... ) lub równoważności (... wtedy i tylko wtedy, gdy ...).
Poprzednik implikacji nazywany jest założeniem, a następnik tezą.
Twierdzeniem nazywamy takie zdanie logiczne, którego prawdziwość została udowodniona (a zdanie logiczne to takie wyrażenie, któremu możemy przypisać wartość logiczną - prawdę lub fałsz).
Udowodnienie twierdzenia podanego w postaci implikacji polega na wykazaniu, że ta implikacja jest zawsze prawdziwa. Stosuje się dwa rodzaje uzasadnienia (udowodnienia) prawdziwości implikacji (twierdzenia):
1. Dowód wprost
2. Dowód nie wprost (przez sprzeczność)
nieprawda, że teza -> nieprawda, że założenie
Przyjmujemy, że następnik (teza) implikacji jest fałszywy i wykazujemy fałszywość poprzednika (założenia), tzn. pokazujemy, że gdyby teza była fałszywa, to założenie też byłoby fałszywe.
Zakładamy fałszywość następnika implikacji, a nie rozpatrujemy przypadku, gdy następnik jest prawdziwy, gdyż przy prawdziwym następniku implikacja jest zawsze prawdziwa niezależnie od tego jaki jest poprzednik.
Jeżeli p jest założeniem, a q tezą, to struktura dowodu nie wprost jest dana:
\neg q \Rightarrow  \neg p

Za bardzo się rozpisałem, ale trudno. O kontrapozycji nie wiem niestety.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2018, o 21:41 
Administrator

Posty: 22990
Lokalizacja: Wrocław
merowing3 napisał(a):
Jeżeli p jest założeniem, a q tezą, to struktura dowodu nie wprost jest dana:
\neg q \Rightarrow  \neg p

O kontrapozycji nie wiem niestety.

:P
To, co napisałeś, to dokładnie kontrapozycja (prawo kontrapozycji mówi, że

(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow  \neg p)).

Z formalnego punktu widzenia nie jest to dowód nie wprost.

Nie wdając się w niuanse logiczne, dowód nie wprost polega na przypuszczeniu fałszywości tezy i dojściu do sprzeczności - ta sprzeczność na końcu jest istotna. Sprzeczność istotnie najczęściej jest z założeniem (i wtedy rozumowanie z matematycznego punktu widzenia jest takie samo, jak przy dowodzie przez kontrapozycję), ale nie musi być.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód logiczny.  Anonymous  2
 Logika-dowod twierdzenia.  Anonymous  1
 Dowód praw de Morgana  Wiader  7
 Dowod tautologii  waclamir  4
 dowod wprost  karola2323  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl