szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2018, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 284
Witam, proszę o wskazówki rozwiązania następującego zadania:

Dane są liczby zespolone z_{1}, z_{2}, których moduły są równe 1 oraz z_{1}z_{2} \neq -1.

Pokazać, że liczba \frac{z_{1}+z_{2}}{1+z_{1}z_{2}} jest rzeczywista.

Przedstawiając liczby na płaszczyźnie zespolonej i sumując odpowiednie wektory widać, że ten iloraz będzie równy 1. Chciałbym jednak bardziej oficjalne rozwiązanie, męczę się przedstawiając te liczby w postaci wykładniczej ale nie mogę dojść do postawionej tezy.

Wszelka pomoc mile widziana :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2018, o 21:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13124
Lokalizacja: Wrocław
Pewnie istnieje jakieś magiczne rozwiązanie, ale wystarczy zapisać z_1=e^{ix}, \ z_2=e^{iy} i pomnożyć przez \frac{1+e^{-i(x+y)}}{1+e^{-i(x+y)}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2018, o 23:55 
Użytkownik

Posty: 37
Lokalizacja: Gdańsk
\frac{z_1+z_2}{1+z_1z_2}= \frac{z_1}{1+z_1z_2}+ \frac{z_2}{1+z_1z_2} = \frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }
z\cdot\overline{z}=\left| z\right|^2

\overline{z_2}\cdot\overline{z_1}=\overline{z_2z_1}

\Im{(\overline{z}+z)}=0

\frac{1}{ \frac{1}{z_1}+z_2 }+\frac{1}{ \frac{1}{z_2}+z_1 }= \frac{1}{\overline{z_1}+z_2}+\frac{1}{\overline{z_2}+z_1}= \frac{\overline{z_2}+z_1+\overline{z_1}+z_2}{\overline{z_1}\overline{z_2}+z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}+z_1z_2}\in \mathbb{R}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór liczb zespolonych & liczby urojone  Anonymous  4
 Równanie na liczbach zespolonych.  Anonymous  5
 Zadanie z liczb zespolonych  mgol  3
 Rozwiąż równanie w liczbach zespolonych.  maxi  2
 Pierwiastkowanie liczb zespolonych.  Basia ;-)  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl