szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 maja 2018, o 15:37 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Gdańsk
Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu x^3-x \in \ZZ_6 [x]. Dla każdego pierwiastka a \in \ZZ_6 przedstawić f w postaci (x-a)g, \ g \in \ZZ_6 [x].

Czy pierwiastki to x=0, x=1, x=5? I wtedy f wygląda tak dla poszczególnych pierwiastków: x(x^2-1), (x-1)(x^2+x), (x-5)(x^2-x) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2018, o 16:40 
Użytkownik

Posty: 12914
Pierwiastkami tego wielomianu są wszystkie elementy \ZZ_6 (co zresztą nie jest wielkim odkryciem, mamy x^3-x=(x-1)x(x+1), więc jest to liczba podzielna przez 6 jako iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, gdyż wśród trzech kolejnych liczb całkowitych znajdziesz podzielną przez 3, a wśród dwóch kolejnych znajdziesz liczbę podzielną przez 2 i \NWD(2,3)=1).
To zadanie być może ma na celu zilustrować obserwację, że z tego, iż wszystkie elementy pierścienia R są pierwiastkami wielomianu p\in R[x] nie wynika, iż wielomian ten jest zerowy.

Mamy także
x^3-x=(x-2)(x^2+2x+3) i tak dalej, oczywiście w \ZZ_6[x].
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 maja 2018, o 17:35 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Gdańsk
A podobnym przykładem w \ZZ_8 może być 8x^3+24x^2+16x=8x(x+1)(x+2) ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 maja 2018, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 12914
No nie bardzo, ponieważ akurat w \ZZ_8[x] ten wielomian jest tożsamy z wielomianem zerowym, gdyż wszystkie jego współczynniki dzielą się przez 8. Tak w ogóle najlepiej pamiętać, żeby współczynniki należały do odpowiedniego pierścienia, tutaj do \ZZ_8.

Nie wiem, czy w \ZZ_8[x] jest taki wielomian. Na pewno w prosty sposób można skonstruować niezerowy wielomian z \ZZ_p(x), gdzie p jest liczbą pierwszą, którego pierwiastkami są wszystkie elementy \ZZ_p, będzie nim właśnie x^p-x (wynika to z małego twierdzenia Fermata). Można to tez bez problemu przenieść na
\ZZ_{2p}[x], gdzie p jest liczbą pierwszą większą od 2, a to dlatego, że x^{p}\equiv x\pmod{2} dla p\in \NN^+ i dla liczby pierwszej p>2 oczywiście \NWD(2,p)=1.

-- 23 maja 2018, o 18:34 --

Dobra, jak najbardziej istnieje, a mianowicie
4x^2+4x
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 maja 2018, o 19:27 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Gdańsk
bardzo dziękuję za pomoc!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 znaleźć pierwiastki wielomianu  nina90  1
 Znaleźć pierwiastki wielomianu - zadanie 6  Patron  5
 znależć pierwiastki wielomianu - zadanie 9  aGabi94  3
 Znaleźć pierwiastki wielomianu - zadanie 7  holdman  4
 Znaleźć pierwiastki wielomianu - zadanie 2  tail  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl