Dowód granicy pierwiastka n-tego stopnia z dowolnego ciągu.

Jak udowodnić, że w odpowiednich warunkach?
Chodzi o to, że Krysicki, Włodarski podają przy przykładzie typu (konkretnie w odpowiedzi do 2.74), nie używając twierdzenia o 3c, że po wyłączeniu najwyższej potęgi można otrzymać pod pierwiastkiem ciąg dążący do liczby i podają twierdzenie ogólne, którego ścisłego dowodu nie potrafię odnaleźć. A przecież w matematyce wszystko musi mieć dowód. Może jest to w jakimś opracowaniu albo podręczniku już gotowe?

Wszystko ok ale nie powiedziałeś czym jest oraz . Domyślam się że chodzi Ci że to wielomian dla . Wtedy faktycznie bo:



Arytmetyka granic pozwala zapisać:



korzystając ze znanego faktu oraz dostajemy tezę.

No właśnie prawie do końca wszystko jest jasne, ale skąd utożsamienie
oraz ?
W sensie - ja właśnie o to pytam. Cytując dokładnie KW

Proszę o niekierowanie na dowód, że jest to zawsze prawdą.

Z definicji na przykład. To że oznacza że dla dowolnie wybranego istnieje taki próg że dla każdego większego od spełniona jest nierówność:


więc także:



dla skrajne wyrażania dążą do więc i z tego twierdzenia można korzystać w dowodzie.

Dziękuję ślicznie

EDIT: A czy podobnego utożsamienia z definicji wolno nam również użyć do innych funkcji?
Na przykład:

z analogicznym uzasadnieniem?

Przy odpowiednich założeniach (dziedzina itd.) wolno. Można też korzystać z ciągłości funkcji.

Spotkałem się z opinią, że korzystanie z ciągłości funkcji korzysta z ukrytego założenia o znajomości granicy, której poprawność stara się udowodnić.

To zależy. Jeśli dowodzisz ciągłości z użyciem definicji Heinego, to owszem - tak nie wolno, bo się pętlimy. Jeśli jednak dowodzisz jej z użyciem definicji Cauchy'ego, to jest okej.

Czy mógłbym jeszcze prosić o rozwinięcie? Jak wykazać, że granice ciągów zdefiniowanych jako wartości funkcji złożonych są równe funkcjom granic, najlepiej właśnie bez odwoływania się w ogóle do analizy tych funkcji, tak jak sumy, iloczyny, ilorazy, potęgi ciągów można było udowodnić bez tego. Nie potrafię przeprowadzić podobnego do użytego wyżej rozumowania do logarytmu (chociaż tutaj odnalazłem, że można to z samej charakteryzacji funkcji wykazać, przynajmniej dla naturalnego) ani np. kosinusa, bo takie przejście do granicy nie pozwala się łatwo pozbyć epsilona, którego definiowanie przez granicę stałoby się błędnym kołem. A jeśli naprawdę nie można obyć się bez odwołania do ciagłości, to chciałbym prosić o komentarz, bo nie widzę jeszcze związku między ciągłością funkcji a granicą funkcji równą funkcji granicy, a tym bardziej ciągu. Chciałbym teraz dobrze przyswoić sobie podstawy, bo nie przywiązałem do tego wystarczającej wagi, przez co cały czas czuję, że brakuje mi biegłości aparatu (kończę mgr z chemii), natomiast stosować twierdzeń bez dowodu nienawidzę.

Nie zrobisz tego bez odwoływania się do analizy tych funkcji, bo w ogólności nie jest tak, że . To jest prawdą tylko dla funkcji, które są w punkcie ciągłe.

Poszukaj sobie dowodu równoważności definicji Heinego i Cauchy'ego ciągłości funkcji.