szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 11:14 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Jak udowodnić, że \lim_{n \to \infty  }   \sqrt[n]{  a_{n} }= 1 w odpowiednich warunkach?
Chodzi o to, że Krysicki, Włodarski podają przy przykładzie typu \lim_{n \to \infty  }  \sqrt[n]{ W(n)} (konkretnie w odpowiedzi do 2.74), nie używając twierdzenia o 3c, że po wyłączeniu najwyższej potęgi można otrzymać pod pierwiastkiem ciąg dążący do liczby i podają twierdzenie ogólne, którego ścisłego dowodu nie potrafię odnaleźć. A przecież w matematyce wszystko musi mieć dowód. Może jest to w jakimś opracowaniu albo podręczniku już gotowe?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 11:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Wszystko ok ale nie powiedziałeś czym jest a_n oraz W(n). Domyślam się że chodzi Ci że to wielomian W(n)= \alpha _kn^k+ \alpha _{k-1}n^{k-1}+...+ \alpha _1n+ \alpha _0 dla \alpha _k>0. Wtedy faktycznie \lim_{n\to  \infty } \sqrt[n]{W(n)}=1 bo:

\lim_{n\to  \infty } \sqrt[n]{\alpha _kn^k+ \alpha _{k-1}n^{k-1}+...+ \alpha _1n+ \alpha _0}=\lim_{n\to  \infty } \sqrt[n]{n^k\left( \alpha _k+  \frac{\alpha _{k-1}}{n} +...+  \frac{\alpha _1}{n^{k-1}} +  \frac{\alpha _0}{n^k} \right) }

Arytmetyka granic pozwala zapisać:

\lim_{n\to  \infty } \sqrt[n]{n^k\left( \alpha _k+  \frac{\alpha _{k-1}}{n} +...+  \frac{\alpha _1}{n^{k-1}} +  \frac{\alpha _0}{n^k} \right)}=\left(  \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{n}  \right)^k \cdot  \lim_{n \to  \infty }  \sqrt[n]{\alpha _k+  \frac{\alpha _{k-1}}{n} +...+  \frac{\alpha _1}{n^{k-1}} +  \frac{\alpha _0}{n^k}}

korzystając ze znanego faktu \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{n} =1 oraz \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{ \alpha _k}=1 dostajemy tezę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 11:52 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
No właśnie prawie do końca wszystko jest jasne, ale skąd utożsamienie
\lim_{n \to  \infty }  \sqrt[n]{\alpha _k+  \frac{\alpha _{k-1}}{n} +...+  \frac{\alpha _1}{n^{k-1}} +  \frac{\alpha _0}{n^k}} oraz \lim_{n \to  \infty } \sqrt[n]{ \alpha _k} ?
W sensie - ja właśnie o to pytam. Cytując dokładnie KW
\lim_{n \to  \infty }  a_{n} = a  \wedge a \neq 0  \wedge a \in R   \Rightarrow  \lim_{ n\to  \infty }   \sqrt[n]{ a_{n}} = 1
Proszę o niekierowanie na dowód, że jest to zawsze prawdą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 12:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Z definicji na przykład. To że \lim_{n \to \infty } a_{n} = a oznacza że dla dowolnie wybranego \epsilon>0 istnieje taki próg N\in \NN że dla każdego n\in\NN większego od N spełniona jest nierówność:

a-\epsilon \le a_n \le a+\epsilon
więc także:

\sqrt[n]{a-\epsilon}  \le  \sqrt[n]{a_n}  \le  \sqrt[n]{a+\epsilon}

dla n \rightarrow  \infty skrajne wyrażania dążą do 1 więc \sqrt[n]{a_n} \rightarrow 1 i z tego twierdzenia można korzystać w dowodzie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 12:17 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Dziękuję ślicznie ;)

EDIT: A czy podobnego utożsamienia z definicji wolno nam również użyć do innych funkcji?
Na przykład:
\lim_{n \to  \infty }  a_{n} = a  \Rightarrow  \lim_{ n\to  \infty  } \log _{x}   \left( a_{n} \right)  = \log _{x} a
z analogicznym uzasadnieniem?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: hrubielowo
Przy odpowiednich założeniach (dziedzina itd.) wolno. Można też korzystać z ciągłości funkcji.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Spotkałem się z opinią, że korzystanie z ciągłości funkcji korzysta z ukrytego założenia o znajomości granicy, której poprawność stara się udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2018, o 16:39 
Gość Specjalny

Posty: 5872
Lokalizacja: Toruń
Gregoreo napisał(a):
Spotkałem się z opinią, że korzystanie z ciągłości funkcji korzysta z ukrytego założenia o znajomości granicy, której poprawność stara się udowodnić.


To zależy. Jeśli dowodzisz ciągłości z użyciem definicji Heinego, to owszem - tak nie wolno, bo się pętlimy. Jeśli jednak dowodzisz jej z użyciem definicji Cauchy'ego, to jest okej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2018, o 17:50 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Czy mógłbym jeszcze prosić o rozwinięcie? Jak wykazać, że granice ciągów zdefiniowanych jako wartości funkcji złożonych są równe funkcjom granic, najlepiej właśnie bez odwoływania się w ogóle do analizy tych funkcji, tak jak sumy, iloczyny, ilorazy, potęgi ciągów można było udowodnić bez tego. Nie potrafię przeprowadzić podobnego do użytego wyżej rozumowania do logarytmu (chociaż tutaj odnalazłem, że można to z samej charakteryzacji funkcji wykazać, przynajmniej dla naturalnego) ani np. kosinusa, bo takie przejście do granicy nie pozwala się łatwo pozbyć epsilona, którego definiowanie przez granicę stałoby się błędnym kołem. A jeśli naprawdę nie można obyć się bez odwołania do ciagłości, to chciałbym prosić o komentarz, bo nie widzę jeszcze związku między ciągłością funkcji a granicą funkcji równą funkcji granicy, a tym bardziej ciągu. Chciałbym teraz dobrze przyswoić sobie podstawy, bo nie przywiązałem do tego wystarczającej wagi, przez co cały czas czuję, że brakuje mi biegłości aparatu (kończę mgr z chemii), natomiast stosować twierdzeń bez dowodu nienawidzę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2018, o 05:39 
Użytkownik

Posty: 15823
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie zrobisz tego bez odwoływania się do analizy tych funkcji, bo w ogólności nie jest tak, że \lim_{x\to a}f(x)=f(a). To jest prawdą tylko dla funkcji, które są w punkcie a ciągłe.

Poszukaj sobie dowodu równoważności definicji Heinego i Cauchy'ego ciągłości funkcji.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczanie granicy.  Anonymous  8
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 Zbadaj monotoniczność ciągu - zadanie 69  Anonymous  2
 Wzór na wyraz ogólny ciągu Fibbonaci'ego  metamatyk  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl