szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2018, o 00:12 
Użytkownik

Posty: 284
Witam, bardzo proszę o podpowiedzi rozwiązań 2 następujących zadań:

1) Znaleźć punkty stałe homografii \frac{z+i}{z-1}.
Więc tak naprawdę należy rozwiązać równanie h(z)=z.

Nie mogę znaleźć żadnego sprytnego sposobu, a pałowanie podstawiając z=a+bi prowadzi do skomplikowanych równań 4 rzędu, które nie chcą dać się rozwiązać zwykłymi metodami.

2) Znaleźć obraz okręgu |z|=2 przez homografię \frac{z-2i}{1-z}

Z góry dziękuję za pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 27 maja 2018, o 00:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12450
Lokalizacja: Państwo Polin
1) A to nie jest jakieś tam trywialne?
Łatwo widać, że z\neq 1, dalej
\frac{z+i}{z-1} =z \Leftrightarrow z+i=z^2-z \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow  z^2-2z=i \Leftrightarrow (z-1)^2=1+i \Leftrightarrow z-1=-\sqrt[4]{2}e^{i\frac \pi 8}\vee z-1=\sqrt[4]{2}e^{i\frac \pi 8}
itd. Ogólnie polecam postać wykładniczą.

Ale może na to też są jakieś ogólne twierdzonka, ja nie pamiętam.

2) Jak powiedział wybitny Polak, a to ja nie wiem, ale zdaje się na Funkcjach Analitycznych była na to jakaś metoda, tylko że już zdążyłem zapomnieć. W dostępnej w necie książce Asha i Novingera Complex Variables (klik) jest rozdzialik poświęcony homografiom, może tam warto sprawdzić. Jakoś w okolicach 4.4-4.6.
Jak tam nic przydatnego nie znajdziesz, to zawsze pozostaje pałczing z=2e^{i\varphi}.
Ogólnie to jest dobra książka, tylko że zawsze jak czytałem primitive function, to przerywałem naukę i zaczynałem sobie nucić smętną głupawą piosenkę Annie Lennox o tytule Primitive, co bardzo przeszkadzało w nabywaniu wiedzy, więc się przerzuciłem na książkę pana Lei, która nie budziła takich skojarzeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2018, o 22:43 
Użytkownik

Posty: 284
1) Ano wygląda na to, że jest :D

2) Dzięki, zajrzę do książki i zachęcony dygresją posłucham piosenki.


Edit:

Teraz widzę, że źle przepisałem pierwsze zadanie miała być funkcja \frac{z+i}{z-i}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rysowanie zbioru - krótkie pytanko.  nwnuinr  2
 supremum zbioru - zadanie 2  siekieracku  2
 Rysowanie zbioru liczb zespolonych.  trojan3q  1
 Przekształcanie zbioru liczb zespolonych  kerajs  1
 podać ilustrację geometryczną zbioru  zuoooo  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl