szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2018, o 11:28 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Czego potrzebuję, żeby rozwiązać to zadanie z treścią? Nieskończenie wiele razy dzielimy odcinek na pół, przy czym każde nowe położenie jest średnią arytmetyczną dwóch poprzednich.
Jak obliczyć granicę takiego typu?
Potrafiłem jedynie wydedukować, że
P_{n} =  \frac{ P_{n-1} +  P_{n-2}}{2} =   \frac{L _{n} }{2 ^{n} } = \frac{ L_{n-1} + 2L_{n-2} }{2 ^{n} }
Z pewnością nie widzę czegoś oczywistego.
Nie wiem też, czy i jak wykorzystać fakt, że parzyste iteracje są zawsze mniejsze, nieparzyste większe od danego punktu (mówiąc żargonowo).
EDIT:
Rozwiązałem! Należy przedstawić to jako sumę odcinków, z których każdy następny jest ćwiartką poprzedniego, pamiętając, że pierwszy wyraz, to też \frac{1}{4}.
\lim P _{n} =  \lim_{ m\to  \infty } \sum_{i=1}^{m= \frac{1}{2} n}  \frac{1}{4}  \cdot  \frac{1}{4 ^{m}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2018, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 4014
l_{0} = 0, \\ l_{1}= \frac{1}{2},

l_{n} = \frac{l_{n-1} - l_{n-2}}{2},

2l_{n} - l_{n-1} - l_{n-2} = 0 (1)

Równanie charakterystyczne

2\lambda^2 - \lambda -1 = 0

\Delta(\lambda) = (-1)^2 - 4\cdot (2)\cdot (-1) = 9, \ \ \sqrt{\Delta(\lambda)} = \sqrt{3^2}= 3.

\lambda_{1} = 1, \ \ \lambda_{2} = - \frac{1}{2}.

Rozwiązanie ogólne

b_{n} = A\cdot  (1)^{n} + B\cdot  (-1/2)^{n}

Rozwiązanie szczególne

\begin{cases} A + B = 0 \\ A - \frac{1}{2}B = \frac{1}{2} \end{cases}

A = \frac{1}{3}, \ \ B = -\frac{1}{3}

b^{*}_{n} = \frac{1}{3}\cdot (1)^{n} - \frac{1}{3}\cdot ( -1/2)^{n}

\lim_{n\to \infty}b^{*}_{n} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 maja 2018, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Grudziądz
Nie znam tego działu matematyki, niestety, ale może komuś innemu się przyda.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica (Krysicki 2.82)  Henryhenry  6
 granica ciagu krysicki twierdzenie o 3 ciagach  loxandra  7
 Granica ciągu (Krysicki i Włodarski)  bazinga  20
 Granica ciągu 2.71 Krysicki  normandy  1
 Szereg 3.67 Krysicki  gerberotto  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl