szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 cze 2018, o 10:46 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Gdańsk
Zbadać jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nierozkładalnym) jest element a pierścienia R:
a) a=4, R=\ZZ \left[ \textbf{i} \right]
c) a=4, R=\ZZ \left[ \frac{1}{2} \right]
e) a=6x, R=\ZZ \left[ x \right]

Wiem, że w podpunkcie c) jest to element odwracalny. Czy wystarczy napisać, że 4 \cdot \frac{1}{4}=1 i \frac{1}{4}\in\ZZ \left[ \frac{1}{2} \right], więc 4 jest elementem odwracalnym?

W podpunkcie a) natomiast jest to element rozkładalny. Na chwilę obecną mam tak:
Ponieważ 4=2 \cdot 2 oraz 2 jest nieodwracalna w \ZZ \left[ \textbf{i} \right], więc 4 jest elementem rozkładalnym w \ZZ \left[ \textbf{i} \right].
Czy jest to poprawnie?

e) nie wiem jak zrobić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: Katowice
Skąd wnosisz, że \frac{1}{4} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right]?
\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}
Jeśli chodzi o odwracalność elementów w K \left[ x \right], to są to elementy odwracalne K
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 13:49 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
Pakro napisał(a):
\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}

Jesteś pewny, że taka jest definicja? Bo nie wygląda to na pierścień...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 17:25 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7920
Lokalizacja: Wrocław
Pewnie przeczytałeś gdzieś, że

\QQ[ \sqrt{2} ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in \QQ \},

i wyciągnąłeś z tego nazbyt odważny wniosek odnośnie znaczenia zapisu R[a] w ogólności. :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 18:41 
Użytkownik

Posty: 140
Lokalizacja: Katowice
Dwa lata temu się ostatnio tym zajmowałem :) przepraszam za wprowadzenie w błąd!
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Gdańsk
Pakro napisał(a):
Skąd wnosisz, że \frac{1}{4} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right]?
\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right] = \left\{ a+b \frac{1}{2}: a,b \in \mathbb{Z} \right\}
Jeśli chodzi o odwracalność elementów w K \left[ x \right], to są to elementy odwracalne K


Zasugerowałam się przykładem z książki, gdzie trzeba było sprawdzić, czy \frac{8}{27} jest elementem odwracalnym w \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right], tylko szczerze mówiąc nie rozumiem również czemu w tamtym przypadku \frac{27}{8}\in\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right].
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 21:05 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
martynar123 napisał(a):
tylko szczerze mówiąc nie rozumiem również czemu w tamtym przypadku \frac{27}{8}\in\mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right].

Bo \frac12=\frac16+\frac16+\frac16\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right], zatem \frac18=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{6} \right] i dalej już prosto.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 21:13 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Gdańsk
Czyli wychodzi na to, że mój podpunkt c) jest rozwiązany dobrze ?
Bo \frac{1}{4}= \frac{1}{2}\cdot   \frac{1}{2}\in \mathbb{Z} \left[ \frac{1}{2} \right].
Jakieś wskazówki do pozostałych?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 21:20 
Administrator

Posty: 23332
Lokalizacja: Wrocław
martynar123 napisał(a):
Czyli wychodzi na to, że mój podpunkt c) jest rozwiązany dobrze ?

Tak. Zwróciliśmy uwagę, że Pakro pomylił się.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 2 cze 2018, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Gdańsk
Ok. Dziękuję bardzo.

Czy dobrze myślę w e?
6x=6\cdot x, 6 \notin U(\mathbb{Z}[x]) i x \notin U(\mathbb{Z}[x]), czyli będzie to element rozkładalny?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Element odwracalny, rozkładalny, nierozkładalny  blade  0
 wielomian nierozkładalny  ddawidd  1
 Czy działanie ma element neutralny  adrian1992ii  1
 Element neutralny - zadanie 2  Ardhad  2
 Element odwrotny w działaniu  Kanodelo  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl