Matematyka » Matematyka królowa nauk » Analiza » Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Strona 1 z 1

[ Posty: 7 ]

Autor

Wiadomość

knx90

Tytuł: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 08:56

Posty: 4
Lokalizacja: Rumia

Witam! Męcze się z tym już parę godzin i nie wiem jak do tego tematu podejść.

Zadanie: Podaj wzór ogólny dla ciągu zdefiniowanego następująco i udowodnić jego prawdziwość

$\begin{cases} a_{1}=0 \\ a_{n}=2 \cdot a_{n-1} + 1 \end{cases}$

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019

Góra

kerajs Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 08:58

Posty: 6936

Hint:
$a_n=2^{n-1}-1$

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 09:03

Posty: 13593
Lokalizacja: Wrocław

Niech
$b_n=a_{n+1}-a_n$ , wówczas $(b_n)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $2$ i $b_1=1$ , więc $b_n=2^{n-1}$ , ponadto skoro dla $n\ge 1$ jest
$a_n=2\cdot a_{n-1}+1$ , to $a_{n-1}+1=b_{n-1}=2^{n-2}$

Góra

Janusz Tracz Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 09:17

Posty: 2015
Lokalizacja: hrubielowo

Możesz to zrobić na kilka sposobów. Elementarne również wydaje się wypisanie kilku kolejnych wyrazów ciągu następnie postawianie jakiejś tezy i udowodnienie jej indukcyjnie.

$\left\{ a_n\right\}_{n\in\NN}=\left\{ 0,1,3,7,15,31,63,...\right\}$

Widać że są to potęgi $2$ pomniejszone o $1$ dlatego $a_n=2^{n-1}-1$ a przynajmniej takie jest podejrzenie. Pierwszy krok indukcyjny już zrobiony właściwie na żądanie. Sprawdzamy czy implikacja tezy dla $T(n+1)$ jest prawdziwa przy założeniu $a_n=2^{n-1}-1$ (czyli $T(n)$ ).

$a_{n+1}=2a_n+1=2\left( 2^{n-1}-1\right)+1=2^n-1$

co kończy dowód.

Góra

a4karo Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 09:19

Posty: 16459
Lokalizacja: Bydgoszcz

Premislav napisał(a):

Niech
$b_n=a_{n+1}-a_n$ , wówczas $(b_n)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $2$

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

$a_{n+1}=2a_n+1=2(a_n+1)-1$ a stąd
$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$ , więc $b_n=a_n+1$ jest geometryczny

Góra

Premislav Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 09:27

Posty: 13593
Lokalizacja: Wrocław

Cytuj:

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

To jest względne. Dla niektórych ludzi, niekoniecznie z tytułami naukowymi, „łatwo zauważyć" coś, czego nie wymyśliłbym przez całe życie i nie hiperbolizuję. Dyskusja na temat tego, co łatwo, a co niełatwo zauważyć, jest więc pozbawiona sensu, ponieważ to zależy od człowieka.

Góra

a4karo Offline

Tytuł: Re: Wzór ogólny dla ciągu i udowodnić jego prawdziwość

Napisane: 3 cze 2018, o 09:30

Posty: 16459
Lokalizacja: Bydgoszcz

Premislav napisał(a):

Cytuj:

To chyba nie jest łatwo zauważyć.

Napisałem tak, bo nie widzę jak to wprost wynika z definicji. Wdzięczny będę, jak pokażesz

No dobra, już widzę

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 7 ]

Matematyka » Matematyka królowa nauk » Analiza » Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
(2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego	Anonymous	2
Znajdź sumę wyrazów ciągu geometrycznego, nieskończone	Anonymous	2
Wzór na maksimum różnicy dwóch ciągow geometrycznych	Tojan3	8
Oblicz 20sty wyraz ciągu arytmetycznego	pitreq	2
Suma ciągu geometrycznego	mhm	5

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]