szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2018, o 07:56 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Rumia
Witam! Męcze się z tym już parę godzin i nie wiem jak do tego tematu podejść.

Zadanie: Podaj wzór ogólny dla ciągu zdefiniowanego następująco i udowodnić jego prawdziwość

\begin{cases}  a_{1}=0  \\ a_{n}=2 \cdot  a_{n-1} + 1   \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2018, o 07:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6643
Hint:
a_n=2^{n-1}-1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2018, o 08:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13186
Lokalizacja: Wrocław
Niech
b_n=a_{n+1}-a_n, wówczas (b_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 2 i b_1=1, więc b_n=2^{n-1}, ponadto skoro dla n\ge 1 jest
a_n=2\cdot a_{n-1}+1, to a_{n-1}+1=b_{n-1}=2^{n-2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2018, o 08:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: hrubielowo
Możesz to zrobić na kilka sposobów. Elementarne również wydaje się wypisanie kilku kolejnych wyrazów ciągu następnie postawianie jakiejś tezy i udowodnienie jej indukcyjnie.

\left\{ a_n\right\}_{n\in\NN}=\left\{ 0,1,3,7,15,31,63,...\right\}

Widać że są to potęgi 2 pomniejszone o 1 dlatego a_n=2^{n-1}-1 a przynajmniej takie jest podejrzenie. Pierwszy krok indukcyjny już zrobiony właściwie na żądanie. Sprawdzamy czy implikacja tezy dla T(n+1) jest prawdziwa przy założeniu a_n=2^{n-1}-1 (czyli T(n)).

a_{n+1}=2a_n+1=2\left( 2^{n-1}-1\right)+1=2^n-1

co kończy dowód.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 cze 2018, o 08:19 
Użytkownik

Posty: 15837
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav napisał(a):
Niech
b_n=a_{n+1}-a_n, wówczas (b_n) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 2


To chyba nie jest łatwo zauważyć.

a_{n+1}=2a_n+1=2(a_n+1)-1 a stąd
a_{n+1}+1=2(a_n+1), więc b_n=a_n+1 jest geometryczny
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2018, o 08:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13186
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
To chyba nie jest łatwo zauważyć.

To jest względne. Dla niektórych ludzi, niekoniecznie z tytułami naukowymi, „łatwo zauważyć" coś, czego nie wymyśliłbym przez całe życie i nie hiperbolizuję. Dyskusja na temat tego, co łatwo, a co niełatwo zauważyć, jest więc pozbawiona sensu, ponieważ to zależy od człowieka.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 3 cze 2018, o 08:30 
Użytkownik

Posty: 15837
Lokalizacja: Bydgoszcz
Premislav napisał(a):
Cytuj:
To chyba nie jest łatwo zauważyć.

To jest względne. Dla niektórych ludzi, niekoniecznie z tytułami naukowymi, „łatwo zauważyć" coś, czego nie wymyśliłbym przez całe życie i nie hiperbolizuję. Dyskusja na temat tego, co łatwo, a co niełatwo zauważyć, jest więc pozbawiona sensu, ponieważ to zależy od człowieka.


Napisałem tak, bo nie widzę jak to wprost wynika z definicji. Wdzięczny będę, jak pokażesz :)


No dobra, już widzę
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (2 zadania) Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego  Anonymous  2
 Znajdź sumę wyrazów ciągu geometrycznego, nieskończone  Anonymous  2
 Wzór na maksimum różnicy dwóch ciągow geometrycznych  Tojan3  8
 Oblicz 20sty wyraz ciągu arytmetycznego  pitreq  2
 Suma ciągu geometrycznego  mhm  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl