szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2018, o 10:52 
Użytkownik

Posty: 105
\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n^2+n]{\binom{n}{0}\binom{n}{1}\binom{n}{2}\cdots \cdots \binom{n}{n}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2018, o 11:46 
Użytkownik

Posty: 12648
Połóżmy a_n= \sqrt[n^2+n]{\binom{n}{0}\binom{n}{1}\binom{n}{2}\cdots \cdots \binom{n}{n}}.
Wówczas mamy
\ln a_n=\frac{1}{n^2+n} \sum_{k=0}^{n}\ln {n \choose k}
Zauważmy, że
\ln{n \choose k}=\ln n!-\ln k!-\ln(n-k)!,
a także
\sum_{k=0}^{n}\ln (n-k)!=  \sum_{k=0}^{n}\ln k!
a więc
\sum_{k=0}^{n}\ln {n \choose k}=(n+1)\ln n!-2 \sum_{k=0}^{n}\ln k!
Teraz taka obserwacja:
w sumie
\sum_{k=0}^{n}\ln k!= \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}\ln j
liczba \ln m, \ m\in 1,2\ldots n
wystąpi n-m+1 razy, a to dlatego, że nie wystąpi w dokładnie m-1 składnikach spośród n składników postaci \sum_{j=1}^{k}\ln j, gdyż
pierwszym tego typu składnikiem, w którym \ln m się pojawi, jest
\sum_{j=1}^{{\red m}}\ln j
A zatem otrzymaliśmy (oczywiście \ln 0!=\ln 1=0):
\sum_{k=0}^{n}\ln k!= \sum_{m=1}^{n}(n-m+1)\ln m=(n+1)\ln n!- \sum_{m=1}^{n}m\ln m,
czyli
\sum_{k=0}^{n}\ln {n \choose k}=(n+1)\ln n!-2 \sum_{k=0}^{n}\ln k!=\\= \sum_{m=1}^{n}2m\ln m-(n+1)\ln n!
Coś za długi ten wstęp. Z twierdzenia Stolza (trochę nieformalnie, bo to pewna implikacja, a ja dopiero uzyskam istnienie pewnej wymaganej granicy, licząc ją poniżej):
\lim_{n \to  \infty } \frac{\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}2m\ln m}-(n+1)\ln n!}{n^2+n}=\\= \lim_{n \to  \infty } \frac{2n\ln n-(n+1)\ln n!+n\ln(n-1)!}{n}=\\= \lim_{n \to  \infty } \frac{n\ln n-\ln n!}{n}
i jeśli teraz skorzystamy z łatwych do udowodnienia (indukcja po n) nierówności
\left( \frac n e \right)^n\le n!\le ne\left( \frac n e\right)^n,
i z tw. o trzech ciągach, to łatwo widzimy, że
\lim_{n \to  \infty } \frac{n\ln n-\ln n!}{n}=e.
Zatem \lim_{n \to  \infty }\ln a_n=e, stąd z własności eksponenty
\lim_{n \to  \infty }a_n=e^e
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 cze 2018, o 11:01 
Użytkownik

Posty: 105
Thanks premislav

actually answer is \sqrt{e.}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 02:24 
Użytkownik

Posty: 12648
Ale ja jestem głupi!
Pierwszy błąd:
n(n+1)-(n-1)n=2n, więc z tw. Stolza dostajemy:
\lim_{n \to \infty } \frac{\displaystyle{\sum_{m=1}^{n}2m\ln m}-(n+1)\ln n!}{n^2+n}=\\= \lim_{n \to \infty } \frac{2n\ln n-(n+1)\ln n!+n\ln(n-1)!}{{\red 2}n}
Drugi błąd:
te szacowania, które napisałem, są OK, ale przecież \ln e=1, a zatem
\lim_{n \to \infty } \frac{n\ln n-\ln n!}{{\red 2}n}={\red \frac 1 2}
i to faktycznie daje nam końcowy wynik \sqrt{e}.

Powinienem pozostać przy mądrzeniu się na temat historii i pisaniu pseudointelektualnych prac o rozmowie Priama z Achillesem w ramach konkursu kultury klasycznej, do tego się nadaję.
Matematyka nie jest dla wszystkich i niektórzy dla własnego dobra nie powinni przekraczać poziomu wielomianów i sinusów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 15:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7835
Lokalizacja: Wrocław
Inne rozwiązania: 415110.htm
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2018, o 16:00 
Użytkownik

Posty: 105
Thanks Premislav and Dasio.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 znajdz granicę  rymoholiko  1
 znajdź granicę - zadanie 3  Fredi  1
 znajdź granicę - zadanie 4  Wujcio  6
 znajdź granicę - zadanie 5  kaelo  3
 znajdź granice - zadanie 6  magda-czapka  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl