szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2018, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Raadzyń Podlaski
Witam mam takie nietypowe dla mnie zadanie udowodnij że
n^{3}< 2^{n} mógłby ktoś pomóc :) ? i wytłumaczyć jak to zrobić
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 cze 2018, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 12935
To nie jest prawda dla dowolnego n, należy założyć np. n\ge 10.
Indukcja:
1^{\circ} Dla n=10 mamy 10^3<1024=2^{10}, czyli się zgadza.
2^{\circ}
W kroku indukcyjnym przypuśćmy, że dla pewnego n\in \NN, \ n\ge 10
zachodzi n^3<2^n. Pokażemy, że wówczas (n+1)^3<2^{n+1}.
Mamy
\frac{n+1}{n}=1+\frac 1 n \le1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}, więc
(n+1)^3=n^3\left( \frac{n+1}{n}\right)^3\le n^3\cdot \left( \frac{11}{10}\right)^3=n^3\cdot  \frac{1331}{1000}   <2n^3<2\cdot 2^n=2^{n+1}
gdzie w ostatniej nierówności korzystamy z założenia indukcyjnego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność indukcyjnie  Arst  2
 Nierówność indukcyjnie - zadanie 2  Kuros  6
 Nierówność indukcyjnie - zadanie 3  WhiteRabbit7  2
 Nierówność indukcyjnie - zadanie 4  bartekPL  5
 Uogólniona nierówność Bernoulliego  Anonymous  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl