szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2018, o 18:40 
Użytkownik

Posty: 107
Rozwiązać
x^3=y^2+4
korzystając z własności pierścienia Gaussa \ZZ[i].

Mogę prosić o jakieś wskazówki jak zabrać się za to zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 12:13 
Użytkownik

Posty: 12615
Niestety nie udało mi się zauważyć w tym zadaniu możliwości zastosowania wiedzy o pierścieniu \ZZ[i] (co nie znaczy, że takiej możliwości nie ma, pewnie po prostu coś mi umknęło), natomiast z pewnością metoda krzywych eliptycznych pozwala rozwiązać to zadanie, ale to jednak swego rodzaju armata.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 20:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Poniżej przedstawiam szkic rozwiązania, część z faktów pozostawiam do samodzielnego przemyślenia.

Wyjdziemy od prostej obserwacji, że wyrażenie y^2+4 rozkłada się na (y+2i)(y-2i) w podanym pierścieniu \mathbb{Z}[i].

Pokażemy, że każdy z czynników jest sześcianem pewnej liczby całkowitej Gaussa. Zauważmy, że albo x oraz y są jednocześnie parzyste albo jednocześnie nieparzyste (dlaczego?).

Załóżmy wpierw, że x i y są nieparzyste. Wykażemy, że y-2i oraz y+2i są względnie pierwsze: gdyby d było wspólnym dzielnikiem obu tych wyrażeń, d dzieliłoby ich różnicę, tj. 4i.

Korzystając z własności normy w \mathbb{Z}[i], wiemy, że N(d) musi dzielić N(4i)=16. Ponieważ N(d) dzieli N(y+2i) (dlaczego?), N(d) dzieli także N(y+2i)=y^2+4=x^3 będące nieparzyste. Stąd N(d)=1, a więc skoro x^3 jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem. Pozostaje sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \mathbb{Z}[i] również dla przypadku parzystego (ćwiczenie).

Przy oznaczeniu x=a+bi mamy więc po przyrównaniu odpowiednio części rzeczywistej, jak i urojonej: y=a(a^2-3b^2) oraz 2=b(3a^2-b^2), z równań to których możemy wyprowadzić jedyne możliwości:

x=2, \quad y=\pm 2 oraz x=5,\quad y=\pm 11.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 12615
Fajne podejście, wydawało mi się, że rozkład y^2+4=(y+2i)(y-2i) nic nie daje, a jednak.

Natomiast drobna uwaga:
Cytuj:
Dowód względnej pierwszości dla przypadku x oraz y parzystych zostawiam jako ćwiczenie.

Zasugerowana teza ćwiczenia jest nieprawdziwa na przykład dla y=2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 21:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Czujne oko! Należy sprawdzić, że oba czynniki są sześcianami w \mathbb{Z}[i], a nie, że są względnie pierwsze (ewidentnie 2 jest wspólnym dzielnikiem).

Dla czytelności edytowałem pierwotną wiadomość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 22:15 
Moderator

Posty: 812
Lokalizacja: Zabrze
JakimPL napisał(a):
Stąd N(d)=1, a więc skoro x^3 jest sześcianem, każdy z czynników musi być sześcianem.

Pudło. Każdy z czynników musi być stowarzyszony z sześcianem. Dla \mathbb{Z}[i] to to samo, bo każdy element odwracalny jest sześcianem, ale nie jest tak w każdym pierścieniu liczbowym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 22:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Zgadza się; przypominam, że jest to jedynie szkic - diabeł tkwi w szczegółach.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyć obszar płaski na płaszczyźnie Gaussa  kamiltopek  5
 Plaszczyzna Gaussa  luna1518  1
 Przedstaw na płszczyźnie Gaussa  Faber33  3
 zaznacz zbiór na płaszczyźnie Gaussa  Shavena  11
 narysuje na plaszczyznie gaussa  Roni17  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl