szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2018, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 21
Lokalizacja: Kcynia
Witam, mam do policzenia odległość między prostymi :
\begin{cases} x = 1+4t \\ y=3-2t \\ z=-1+3t \end{cases}
\begin{cases} x = -1+s \\ y=1-s \\ z=2s \end{cases}

Obliczyłem \overrightarrow{P_1P_2} = (-2,-2,1)
oraz obliczyłem\overrightarrow{K_1}\times\overrightarrow{K_2} =(-7,-5,-2)
Tylko problem jest taki, że nie wiem co dalej zrobić.. Jakiś wzór?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2018, o 15:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13162
Lokalizacja: Wrocław
Jak ktoś woli analizę od algebry liniowej czy geometrii analitycznej (np. ja), to może znaleźć minimum funkcji dwóch zmiennych d(t,s) określającej odległość między punktami z tych zbiorów:
d(t,s)= \sqrt{(1+4t-(-1+s))^2+(3-2t-(1-s))^2+(-1+3t-2s)^2}=\\=\sqrt{(4t-s+2)^2+(-2t+s+2)^2+(3t-2s-1)^2}
Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą w swojej dziedzinie, więc wystarczy minimalizować kwadrat tej funkcji, a potem spierwiastkować. No a kwadrat tej funkcji wyraża się przez:
(4t-s+2)^2+(-2t+s+2)^2+(3t-2s-1)^2=\\=6 s^2 - 24 s t + 4 s + 29 t^2 + 2 t + 9
Tutaj można zbadać minima funkcji dwóch zmiennych i skorzystać z jej (funkcji) ewidentnej wypukłości,
nietrudno wyliczyć, że (t,s)=\left( -1, -\frac 7 3\right) i potem można coś poprzynudzać o wypukłości, albo można tak postąpić:
=6 s^2 - 24 s t + 4 s + 29 t^2 + 2 t + 9=\\=\frac 4 7(7t-3s)^2+(t+1)^2+\frac 6 7\left( s+\frac 7 3\right)^2+\frac{10}{3} \ge \frac{10}{3}
z równością dla (t,s)=\left( -1, -\frac 3 7\right)

Zatem o ile się nie rąbnąłem w rachunkach, odpowiedzią w zadaniu jest \sqrt{\frac{10}{3}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2018, o 17:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 573
Lokalizacja: somewhere
Podejście algebraiczne:
zauważ, że pierwsza prosta to \left[ 1,3,-1\right] +t\left( 4,-2,3\right) dla t \in \mathbb R. Stąd mamy natychmiast kierunek tej prostej: \alpha =\left( 4,-2,3\right). Analogicznie kierunek drugiej prostej to \beta =\left( 1,-1,2\right). Szukamy wektora ortogonalnego do wektorów \alpha i \beta; można to zrobić na wiele sposobów ja polecam takie rozumowanie: wektory \alpha i \beta rozpinają pewną płaszczyznę. Nietrudno się przekonać, że jest ona opisana równaniem x+5y+2z=0 (najlepiej samemu do tego dotrzeć). Zatem wektorem ortogonalnym do wektorów \alpha i \beta będzie wektor normalny tej płaszczyzny, czyli \gamma=\left( 1,5,2\right). Wystarczy teraz zrzutować prostopadle wektor łączący dowolne punkty tych prostych na \gamma i policzyć jego normę.

-- 9 cze 2018, o 18:52 --

Premislav, wyszło mi to samo ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Odległość między prostymi - zadanie 9  smn2000  1
 odległość między prostymi - zadanie 5  celia11  2
 odległość między prostymi - zadanie 3  Kofeinka  1
 Odległość miedzy prostymi  gielet  10
 odległość między prostymi - zadanie 18  alu12  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl