szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2018, o 19:48 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Lub
Czy dowolne 2 okręgi styczne zewnętrznie można przeciąć prostą tak, aby powstałe dwie cięciwy były równe? Jeśli tak, to jak należy poprowadzić taką prostą?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 cze 2018, o 22:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
Intuicja sugeruje, że istnieje wiele takich prostych.
Jeśli r_1 \le r_2 to jedna z nich przechodzi przez środek mniejszego okręgu i jest styczna do okręgu o promieniu \sqrt{r_2^2-r_1^2} koncentrycznego z okręgiem większym. W tym wypadku obie cięciwy mają długość 2r_1.

Jeśli r_1 \le r_2, a długość cięciwy ma wynosić 2d , (d \le r_1) to szukana prosta będzie styczną do do okręgu o promieniu \sqrt{r_1^2-d^2} koncentrycznego z okręgiem mniejszym i jednocześnie styczną do okręgu o promieniu \sqrt{r_2^2-d^2} koncentrycznego z okręgiem większym. Dodatkowo ta prosta nie przecina odcinka łączącego środki podanych okręgów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 264
Lokalizacja: Lub
A może jakiś pomysł na konstrukcję?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 10:49 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
Cytuj:
Jeśli r_1 \le r_2 to jedna z nich przechodzi przez środek mniejszego okręgu i jest styczna do okręgu o promieniu \sqrt{r_2^2-r_1^2} koncentrycznego z okręgiem większym. W tym wypadku obie cięciwy mają długość 2r_1.

Jedna z możliwych konstrukcji:

\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [red] (0,0) circle (2);
\draw [red,fill] (0,0) circle (0.05);
\draw [orange] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [orange,fill] (1.5,0) circle (0.05);
\draw [green,fill] (1.3333,1.4907) circle (0.09);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [green,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green,fill] (1.3333,1.4907) circle (0.09);
\draw [green] (3,0) circle (2.236068);
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [green] (3,0) circle (2.236068);
\draw [orange] (0.5,0) circle (2.5);
\draw [orange,fill] (0.5,0) circle (0.05);
\draw [fill] (2,2) circle (0.09);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (2);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (3,0) circle (2.236068);
\draw [dashed] (0.5,0) circle (2.5);
\draw [fill] (2,2) circle (0.09);
\draw (-4,-1)--(4,3);
\end{tikzpicture}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 10:35 
Użytkownik

Posty: 16251
1. Konstruujemy styczną do o(B,r_2) przechodzącą przez punt A. Oznaczamy punkt styczności przez C.

2. Konstruujemy styczną do o(A,r_1) i przechodzącą przez punt D. Oznaczamy punkt styczności przez D.

3. Prowadzimy prostą przez C i D.
Cięciwy ED i CF są równe.

Rysunek w załączniku.
Załącznik:
15127377b.png
15127377b.png [ 94.51 KiB | Przeglądane 274 razy ]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 16:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
Cytuj:
Jeśli r_1 \le r_2, a długość cięciwy ma wynosić 2d , (d \le r_1) to szukana prosta będzie styczną do do okręgu o promieniu \sqrt{r_1^2-d^2} koncentrycznego z okręgiem mniejszym i jednocześnie styczną do okręgu o promieniu \sqrt{r_2^2-d^2} koncentrycznego z okręgiem większym. Dodatkowo ta prosta nie przecina odcinka łączącego środki podanych okręgów.


\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2,1)--(3.5,1);
\draw [orange] (2.8,1.4) node[below]{$d$};
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2,1)--(3.5,1);
\draw [orange] (0,0) circle (1.5);
\draw [orange,fill] (0,0) circle (0.05);
\draw [orange] (2.8,1.4) node[below]{$d$};
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [orange] (0,0) circle (1.5);
\draw [green!80!black] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [green!80!black,fill] (1.5,0) circle (0.05);
\draw [green!60!black] (-1,0) circle (1);
\draw [green!60!black,fill] (-1,0) circle (0.05);
\draw [fill,magenta] (-1.125,0.99216) circle (0.09);
\draw [fill,cyan] (0.75,1.299) circle (0.09);

\end{tikzpicture}


\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-5,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [magenta,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [cyan,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (-1,0) circle (1);
\draw [fill,magenta] (-1.125,0.99216) circle (0.09);
\draw [magenta] (-2,0) circle (1.3229);
\draw [fill,cyan] (0.75,1.299) circle (0.09);
\draw [cyan] (3,0) circle (2.5981);
\draw [yellow!60!black] (-2,-0.5)--(-2,1.5);
\draw [yellow!60!black,fill] (-2,1.3229) circle (0.06);
\draw [yellow!60!black] (3,-0.5)--(3,2.8);
\draw [yellow!60!black,fill] (3,2.5981) circle (0.06);
\end{tikzpicture}\\
\\
\begin{tikzpicture}
\draw [dashed] (-8,0)--(7,0) ;
\draw [red] (-2,0) circle (2);
\draw [red,fill] (-2,0) circle (0.05);
\draw [blue] (3,0) circle (3);
\draw [blue,fill] (3,0) circle (0.05);
\draw [dashed] (0,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (1.5,0) circle (1.5);
\draw [dashed] (-1,0) circle (1);
\draw [magenta] (-2,0) circle (1.3229);
\draw [cyan] (3,0) circle (2.5981);
\draw [yellow!60!black,fill] (-2,1.3229) circle (0.06);
\draw [yellow!60!black,fill] (3,2.5981) circle (0.06);
\draw [yellow!70!black,fill] (3,2.5981)-- (-7.18693,0);
\draw [yellow!70!black,fill] (-7.18693,0) circle (0.07);
\draw [green] (-4.59346,0) circle (2.59346);
draw [green] (-4.59346,0) circle (0.05);
\draw (-7.18693,0)--(5,3.25);

\end{tikzpicture}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 16251
Ta moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnego r_1 i r_2.
Zastanawiam się jeszcze tylko nad dowodem. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 5741
Lokalizacja: Staszów
anna_ napisał(a):
Ta moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnego r_1 i r_2.
Zastanawiam się jeszcze tylko nad dowodem. :)

To skąd ta pewność? Może zajrzeć tam gdzie jest to napisane?
Też jestem ciekawy dowodu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 19:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6249
Sucharek:
Skoro się licytujemy, to moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnych r_2 \ge r_1 \ge d


Aby wyczerpać temat należałoby jeszcze wskazać konstrukcję, gdzie prosta jest prowadzona między środkami stycznych zewnętrznie okręgów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 19:24 
Użytkownik

Posty: 2233
Lokalizacja: Warszawa
anna_ napisał(a):
Cięciwy ED i CF są równe.

Pokaż to.

:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 16251
kerajs napisał(a):
Sucharek:
Skoro się licytujemy, to moja konstrukcja sprawdza się dla dowolnych r_2 \ge r_1 \ge d


Aby wyczerpać temat należałoby jeszcze wskazać konstrukcję, gdzie prosta jest prowadzona między środkami stycznych zewnętrznie okręgów.


A co dla r_1 \le r_2?

Na bank się zgadza, a nad dowodem myślę :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 20:44 
Użytkownik

Posty: 5741
Lokalizacja: Staszów
Proszę zauważyć, że dla okręgów stycznych zewnętrznie o jednakowych promieniach takich cięciw można poprowadzić dowolnie wiele. Ale tylko jedna para cięciw przynależy do prostej do której przynależą punkty wspólne obu okręgów i okręgu o średnicy równej odległości między środkami tych okręgów co jest równoznaczne z tym, że jego promień jest średnią arytmatyczną promieni tych okręgów.
Wykorzystując tę uwagę do konstrukcji takiej jak na rysunku, zauważamy, że prosta prostopadła do odcinka |DC| połowi go, a to pozwala już na skonstruowanie cięciwy |CF| i
pokazanie jej równości z cięciwą |ED|.
Obrazek
Zauważamy:
Prosta p połowi cięciwy |DC|  \ i \  |AH| okręgu k.
Cięciwa |AH|  \ || \  |DC|
\angle EDA = \angle GDC jako wierzchołkowe.
\angle GDC = \angle DCG jako kąty u podstawy trójkąta równoramiennego \Delta  GDC
\angle DEA = \anle EDA = \angle CFH, stąd dla |AR| = |HP| trójkąty
\Delta AED  \ i \   \Delta HCF są przystające, zatem zachodzi równość :
|ED| =  |CF| , co potwierdza tezę.
Poprawiłem rysunek o dodanie oznaczeń i objaśnienia.

Proszę Annę by wybaczyła mi wykorzystania Jej rysunku
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 16251
Trójkąty EAD i CBF są równoramienne.
|ED|=x

|CF|=y

Trójkąty ABD i ABC są prostokątne mają wspólną podstawę AB.
Okrąg O(O,\frac{1}{2}|AB|) jest okręgiem opisanym na obu tych trójkątach, jest więc także opisany na trójkącie ACD i DBC.

Z twierdzenia sinusów
\frac{r}{\sin \beta}=\frac{R}{\sin \alpha}

r=\frac{R \sin \beta}{\sin \alpha}

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta EAD
x^2=r^2+r^2-2r^2\cos (2\alpha)

x^2=2r^2-2r^2(1-2\sin ^2\alpha)

x^2=2r^2-2r^2+4r^2\sin ^2\alpha

x^2=4r^2\sin ^2\alpha

x^2=4\left(\frac{R \sin \beta}{\sin \alpha}\right) ^2\sin ^2\alpha

x^2=\frac{4R^2 \sin ^2\beta}{\sin ^2\alpha} \cdot \sin ^2\alpha

x^2=4R^2 \sin ^2\beta

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta CBF
y^2=R^2+R^2-2R^2\cos (2\beta)

y^2=2R^2-2R^2(1-2\sin ^2\beta)

y^2=2r^2-2R^2+4R^2\sin ^2\beta

y^2=4R^2 \sin ^2\beta

x=y
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Okręgi a jednokładność  Majeskas  0
 Wielokąty i okręgi - zadanie 5  stitch626  1
 Prosta 3|x|+|y|=2.  robert179  2
 Dane są dwa okręgi współśrodkowe..  CullenTeam  3
 Okręgi styczne - zadanie 23  paulina223  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl