szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 08:58 
Użytkownik

Posty: 131
Udowodnić, że jeśli Q jest kwadratem o środku w punkcie z_{0} o brzegu \lambda zorientowanym przeciwnie do wskazówek zegara, gdzie boki kwadratu są równoległe do osi współrzędnych, to:

\int_{\lambda}  \frac{1}{z - z_{0}} dz = 2 \pi i

Chciałbym w ogóle dowiedzieć się o co chodzi z tą parametryzacją i po co ona jest. Kwadrat na osi narysuję, ale jak ja mam wyliczyć taką całkę, to pojęcia nie mam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 10:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1997
Lokalizacja: hrubielowo
Jest kilka sposobów na pokazanie tej równości. Parametryzacja jest jednym z takich sposobów choć parametryzowanie każdego boku jest to dość upierdliwe. Innymi sposobami są wykorzystanie wzoru Cauchy’ego lub teorii residuów które są w tym przypadku są rozwiązaniami skrajnie podobnymi ale dającymi wynik natychmiast. Rozumiem jednak że zadanie musi zostać koniecznie zrobione parametryzacją. Można sobie jednak trochę uprościć życie powołując się na twierdzenie Cauchy’ego i zauważając że nie trzeba parametryzować kwadratu a można okrąg o środku z_0 i promieniu R w ten sposób ominiemy niepotrzebne rachunki. Parametryzacja okręgu to z(t)=z_0+Re^{i\phi}\ \ \text{dla} \ \ \phi\in\left[ 0,2\pi\right] przez co mamy \mbox{d}z=Rie^{i\phi} \mbox{d}\phi a całka zamieni się na:

\int_{\lambda} \frac{1}{z - z_{0}}  \mbox{d}z= \int_{0}^{2\pi}\frac{Rie^{i\phi} \mbox{d}\phi}{Re^{i\phi}}=\int_{0}^{2\pi}i\mbox{d}\phi=2\pi i
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 11:25 
Użytkownik

Posty: 131
Okej, ale miałbym jeszcze pytanie co do tej części: "o brzegu \lambda zorientowanym przeciwnie do wskazówek zegara". Po co jest ta orientacja, co ona daje?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 11:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1997
Lokalizacja: hrubielowo
Orientacja określa "kierunek" z jakim obchodzimy punkt wraz ze zwiększaniem się parametru. Naturalną orientacją jest orientacja przeciwna do kierunku wskazówek zegara. Zachodzi wzór:

\oint_{\gamma}= -\oint_{-\gamma}

mówiący o tym że jęli masz całkę o orientacji ujemnej to można policzyć całkę o orientacji dodatniej z minusem.

Przykładowo masz parametryzacje z(t)=e^{i\phi} gdzie \phi\in\left[ 0,2\pi\right]. Jest to parametryzacja okręgu jednostkowego jeśli podstawisz kilka kolejnych wartości \phi na przykład 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2},\pi... to zauważysz że punkt (0,0) jest okrążany poczynając od pierwszej ćwiartki przez drugą, trzecią i na końcu czwartą. Ruch ten jest odwrotny do zegara więc paramteryzacja jest dodatnia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całka funkcji zespolonej w kierunku dodatnim  major321  0
 całka analiza zespolona  bobek2010  1
 Całka zespolona - zadanie 48  Madelinee  1
 Całka zespolona - zadanie 49  Last  1
 całka krzywoliniowa - zadanie 150  BaTinka91  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl