szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 15:48 
Użytkownik

Posty: 1603
Lokalizacja: Sosnowiec
Niech f:[a,b]\times A\rightarrow\RR będzie funkcją ciągłą, gdzie A\subset\RR. Kładziemy \phi(x):=\int_a^b f(t,x)\dd t dla x\in A. Pytanie, czy funkcja \phi musi być ciągła?

Pod dodatkowym założeniem zwartości zbioru A udało mi się pokazać ciągłość (nawet jednostajną ciągłość) \phi. Nie wiem natomiast jak to będzie w ogólności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2018, o 11:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 7929
Lokalizacja: Wrocław
Ustalmy x \in A i niech \varepsilon > 0. Z ciągłości dla każdego t \in [a, b] istnieje otwarte otoczenie (t, x) \in U_t \times V_t takie, że dla dowolnego (t', x') \in U_t \times V_t jest |f(t', x') - f(t, x)| \le \varepsilon. W szczególności, jeśli (t', x') \in U_t \times V_t, to |f(t', x') - f(t', x)| \le 2\varepsilon.

Rodzina \{ U_t \times V_t : t \in [a, b] \} jest otwartym pokryciem przestrzeni zwartej [a, b] \times \{ x \}, zatem istnieje skończone podpokrycie

[a, b] \times \{ x \} \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_n \times V_n

gdzie U_i \times V_i = U_{t_i} \times V_{t_i} dla pewnych t_1, \ldots, t_n \in [a, b]. Niech V = \bigcap_{i=1}^n V_n. Widzimy, że dla x' \in V mamy

(\forall t \in [a, b]) \, |f(t, x') - f(t, x)| \le 2\varepsilon,

zatem |\phi(x') - \phi(x)| \le 2 \varepsilon (b-a).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice funkcji.  Anonymous  6
 Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek  Ptolemeusz  9
 Granice funkcji wielu zmiennych  malgosia  1
 (6 zadań) Obliczanie granic funkcji  Anonymous  6
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl