szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 11
Witam
Proszę o pomoc z nierównością.

\sqrt[n]{n}<1+ \sqrt{ \frac{2}{n} }

dla każdego n \in  \NN_{+}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 17:04 
Moderator

Posty: 2002
Lokalizacja: Trzebiatów
O ile nie ma błędu to z AM-GM mamy
\sqrt[n]{n} =  \sqrt[n]{ \sqrt{ \frac{n}{2} } \cdot \sqrt{ \frac{n}{2} } \cdot 2 \cdot 1 \cdot ... \cdot 1 }  \le   \sqrt{ \frac{2}{n} } + 1 -  \frac{1}{n} <  \sqrt{ \frac{2}{n} } + 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 17:11 
Użytkownik

Posty: 12886
Można i tak: dla n=1 dostajemy oczywistą nierówność 1<1+\sqrt{2}, a dla n\ge 2 mamy równoważnie
\left( 1+\sqrt{\frac 2 n}\right)^n> n
ale z rozpisania pierwszych wyrazów rozwinięcia dwumianowego Newtona mamy
\left( 1+\sqrt{\frac 2 n}\right)^n \ge 1+n\sqrt{\frac 2 n}+ \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac 2 n=\\=1+\sqrt{2n}+n-1>1+(n-1)=n
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 11
Dziękuję
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie pierwszego stopnia.  _rois_  8
 Nierownosc Czebyszewa - kiedy rownosc?  Linka  1
 Usunąć niewymierność z mianownika (pierwiastek 3-go stop  TleN^Q  4
 Włączanie niewiadomej pod pierwiastek 3 stopnia  the moon  3
 Pierwiastek - niby proste. O co chodzi z Tex'em?  wodzu10  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl