szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 21:26 
Użytkownik

Posty: 306
Lokalizacja: Polska
Niech H_n oznacza n-tą liczbę harmoniczną oblicz
\lim_{ n \to \infty} \frac{ H_n^2 - H_n}{ \ln(n)}

Gdzie H_n =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
Doszukałem się też opcji, że H_n =  \sum_{k=1}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix} \cdot  \frac{1}{n!}

\begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}} - to liczby Strlinga 1 rodzaju

Próbowałem sprawdzić na wolframie ale głupoty mi wyskakują, jakieś wskazówki ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 21:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 573
Lokalizacja: somewhere
Może lepiej po prostu zobaczyć, że H_n \approx \ln n (asymptotycznie)? Granica jest niewłaściwa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 21:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
Dokładnie można wykazać nierówności
H_n>\ln(n+1)>H_{n+1}-1
a oto jak:
z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej mamy
\frac{1}{k}>\ln(k+1)-\ln k>\frac 1 {k+1}
dla k\ge 1.
Dodając takie nierówności stronami dla k=1\ldots n otrzymamy:
1+\frac 1 2+\ldots+\frac 1 n>\ln(n+1)>\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{n+1}
czyli dokładnie
H_n>\ln(n+1)>H_{n+1}-1.

-- 10 cze 2018, o 21:48 --

Właściwie można wykazać więcej:
ciąg (H_n-\ln n)_{n=1}^{\infty} jest malejący i ograniczony z dołu (to ostatnie wynika z powyższego szacowania H_n>\ln(n+1)), więc ma granicę właściwą (którą nazywa się stałą Eulera-Mascheroniego).
To może dowód, że ciąg ten jest malejący:
H_{n+1}-\ln(n+1)-\left( H_n-\ln n\right) =\frac{1}{n+1}-\ln\left( 1+\frac 1 n\right)<0,
co wynika ze wspomnianego szacowania z tw. Lagrange'a o wartości średniej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 21:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 573
Lokalizacja: somewhere
Albo policzyć wprost:
\lim_{n \to \infty  } \frac{H_n}{\ln n}= \lim_{n \to  \infty } \frac{1}{(n+1) \ln (1+ \frac{1}{n}) }=1 z twierdzenia Stolza (chyba za często używam tego wzoru, ale bardzo go sobie cenię :D )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 22:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
A można i tak.

Chociaż tak naprawdę, to chyba mi przygrzało przez dzisiejszą temperaturę i stąd u mnie jakieś majaki o stałej Eulera-Mascheroniego, ta granica, którą podałem, nie jest nam do niczego potrzebna, bowiem skoro mamy szacowania
H_n>\ln(n+1)>H_{n+1}-1, to
H_n^2-H_n>\ln^2(n+1)-\ln (n)-1>\ln^2(n)-\ln n-1
i
\frac{H_n^2-H_n}{\ln n} >\ldots
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 cze 2018, o 22:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 573
Lokalizacja: somewhere
Też ładnie :D
Warto pamiętać mimo wszystko asymptotykę ciągu sum częściowych H_n, a w szczególności, to że jest rozbieżny..
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 Granica funkcji/funkcja odwrotna.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl