szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:19 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Zastanawia mnie fakt czy poniższa równość jest prawdziwa. Nie mogę znaleźć czegoś co by mnie przekonało do tego faktu.

\lim_{ n \to \infty }  \sum_{k = 0}^{n}  \sqrt{2 - \left(   \frac{k}{n}  \right) ^{2}  } \ \cdot \  \frac{k}{n^{2}}  \   =  \   \sum_{k = 0}^{n}  \lim_{ n \to \infty }  \sqrt{2 - \left(   \frac{k}{n}  \right) ^{2}  } \ \cdot \  \frac{k}{n^{2}}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2652
Lokalizacja: Radom
Wyrażenie po prawej nie ma sensu
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 12307
Lokalizacja: Presslaw
Nie wiem, po co kombinować, to po lewej to inaczej
\int_{0}^{1}x\sqrt{2-x^2}\,\dd x=-\frac 1 3\left( 2-x^2\right)^{\frac 3 2}\bigg|^{x=1}_{x=0}= \frac{2\sqrt{2}-1}{3}


Jak będziesz mieć teorię miary, to się dowiesz trochę o różnych przejściach granicznych i o tym kiedy są one dopuszczalne, a kiedy nie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:45 
Użytkownik

Posty: 15037
Lokalizacja: Bydgoszcz
leg14 napisał(a):
Wyrażenie po prawej nie ma sensu



Ma sens. Jest równe zeru
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:48 
Użytkownik

Posty: 137
Lokalizacja: Siedliska
Premislav, skąd Ci się wzięła równość tej całce?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 15:59 
Użytkownik

Posty: 12307
Lokalizacja: Presslaw
Pytasz mnie skąd się wzięło to:
\int_{0}^{1}x\sqrt{2-x^2}\,\dd x=-\frac 1 3\left( 2-x^2\right)^{\frac 3 2}\bigg|^{x=1}_{x=0},
czy raczej skąd wziąłem fakt, że granica tej sumy jest równa tej całce?

To pierwsze, to po prostu zgadłem, ale można zwyczajnie podstawić t=2-x^2, a co do tego drugiego, no to jest granica sumy Riemanna, bo ma taką postać (dla wygody pominąłem pierwszy wyraz, który i tak wynosi zero)
\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{2 - \left( {\red \frac{k}{n}} \right) ^{2} } \ \cdot \ {\red \frac{k}{n}}\cdot \left( \frac{k}{n}-\frac{k-1}{n}\right)
no i łatwo widać, że to odpowiada sumie Riemanna dla odcinka [0,1],funkcji
f(x)=\sqrt{2-x^2}x, punktów podziału \frac 1 n, \ \frac 2n , \ldots \frac n n
(gdzie jako te punkty w sumie Riemanna z każdego odcinka bierzemy prawe końce odcinków).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 16:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2652
Lokalizacja: Radom
a4karo, owszem na siłę można powiedzieć, że to jest zero, ale skoro po prawej n jest wolne, wydaje mi się, że może prawa strona miała wyglądać odrobinę inaczej
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy szereg jest zbieżny ? - zadanie 2  Anonymous  3
 Kiedy szereg jest zbieżny ?  Margaretta  2
 Udowodnij, że ciąg jest nieograniczony z dołu  deny  1
 Co to jest podzielność ciągu ?  Anonymous  2
 Wykazać, że zachodzi równość ... ciąg Fibbonaciego  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl