szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 cze 2018, o 23:34 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: katowice
Hej potrzebuję pomocy z udowodnieniem, że funkcja f(\alpha)= \frac{1-t^\alpha}{\alpha} jest malejąca w przedziale (0,1\rangle oraz nieujemna i ciągła względem t.
Wiem, że badanie monotoniczności robi się na podstawie pierwszej pochodnej, ale poźniej dochodzę do dziwnych granic i nie do końca wiem co dalej. Jeśli chodzi o ciągłość to wgl jestem zielony.
Z góry dziękuję za pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2018, o 08:17 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
To f(\alpha) czy względem t w końcu? ;_;
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2018, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: katowice
No napisałem dokładnie taką treść jaką dostałem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2018, o 11:51 
Użytkownik

Posty: 782
Lokalizacja: Polska
No ok.
1. Malejąca

Dla t_1, t_2 \in (0,1\rangle i \alpha > 0 mamy t_1 < t_2  \Leftrightarrow t_1^\alpha < t_2 ^ \alpha  \Leftrightarrow -t_1 ^\alpha > -t_2^  \alpha  \Leftrightarrow 1-t_1^\alpha > 1-t_2 ^ \alpha. Równoważność jest oczywiście relacją przechodnią, a zatem dla tej funkcji mamy

t_1 < t_2  \Leftrightarrow \frac{1-t_1^\alpha}{\alpha} > \frac{1-t_2^\alpha}{\alpha}, a to oczywiście jest definicja funkcji malejącej dla f(t) = \frac{1-t^\alpha}{\alpha}

2. Nieujemna
Ponadto Dla t \in (0,1\rangle i \alpha > 0 mamyt^\alpha < 1, a zatem \frac{1-t^\alpha}{\alpha}>0, czyli f. jest nieujemna

3. Ciągła
Ponadto oczywiście względem t jest to funkcja potęgowa powiększona o wyraz wolny, a zatem jest to f. ciągła (szkic dowodu np. tutaj http://home.agh.edu.pl/~cmiel/airanaliza/W05.pdf)

Dla \alpha < 0 twoja teza jest nieprawdziwa, więc gdzieś musiałeś zgubić ten warunek o dodatniości \alpha.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Granice funkcji.  Anonymous  6
 Szukanie funkcji ciągłej spełniającej określony warunek  Ptolemeusz  9
 Granice funkcji wielu zmiennych  malgosia  1
 (6 zadań) Obliczanie granic funkcji  Anonymous  6
 Granica funkcji.  marcin-tryka  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl