szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 12:32 
Użytkownik

Posty: 5580
Lokalizacja: Kraków
Dane są ciągi x_n i y_n:
\begin{cases}x_{n+1}= 2x_n+ 3y_n \\ y_{n+1}= x_n+ 2y_n \end{cases}
przy czym x_1=2 i y_1=1.
Udowodnić, że dla n \geq 1 istnieje liczba całkowita K_n taka, że x_{2n+1} = 2( K_n^2+ (K_n +1)^2 )
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 14:58 
Użytkownik

Posty: 12307
Lokalizacja: Presslaw
Względnie łatwo można udowodnić, że x_{n}=4x_{n-1}-x_{n-2}, \ n\ge 3 (o ile się nie pomyliłem w rachunkach). Może to coś da… Ale nie za bardzo mam czas, by nad tym myśleć.

-- 13 cze 2018, o 14:40 --

Wówczas możemy uzyskać formę:
x_{2n+1}=A(2-\sqrt{3})^{2n+1}+B(2+\sqrt{3})^{2n+1}
chociaż bardziej przyda się rekurencja liniowa dla ciągu x_{2n+1}.
c_1 \cdot \left( A(2-\sqrt{3})^{2n-3}+B(2+\sqrt{3})^{2n-3}
\right) +c_2\cdot  \left( A(2-\sqrt{3})^{2n-1}+B(2+\sqrt{3})^{2n-1}
\right) =A(2-\sqrt{3})^{2n+1}+B(2+\sqrt{3})^{2n+1}
To powinno się udać, jeśli:
\begin{cases}c_1+(2-\sqrt{3})^2 c_2=(2-\sqrt{3})^4  \\ c_1+(2+\sqrt{3})^2 c_2=(2+\sqrt{3})^4 \end{cases}

Z tego wychodzi c_1=-1, \ c_2=14
Czyli
x_{2n+1}=14x_{2n-1}-x_{2n-3},
ponadto nietrudno wyliczyć, że x_3=26=2(2^2+3^2)
oraz x_5=362=2(9^2+10^2)
Korzystając z tego i z powyższej rekurencji zauważamy z księżyca i dowodzimy indukcyjnie, że
x_{2n+1}=2\left( \left(  \sum_{k=1}^{n} x_k\right)^2+\left( 1+ \sum_{k=1}^{n}x_k \right)^2  \right) , \ n\ge 1

sorry, to musi wystarczyć, pewnie bardziej elegancko można zauważyć jakąś sztuczkę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zbadaj ciągi  matrix2000  1
 Ciągi nieskończone - zadania do wytłumaczenia  joanna136  19
 ciągi, zbieżność - dowody ...  MAZUT  3
 granica ciagu -3 ciągi - zadanie 1012  czarny93123  3
 3 ciągi - zadanie 2  DjStefan  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl