szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 16:38 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Poproszę o szczegółowe rozwiązanie przykładu, mile widziane komentarze z każdego etapu rozwiązań.

Niech X _{1},..........,X _{n} będzie próbą losową prostą z rozkładu o gęstości f(x) =  \frac{1}{\theta}e ^{\frac{-x}{\theta}}  , x>0. Estymator T =    \bar {X} parametru \theta > 0 jest nieobciążony. Obliczyć efektywność estymatora T. Czy T jest estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji? Odpowiedź uzasadnić. Wiadomo, że Var X =  \theta^{2}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 16:57 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2652
Lokalizacja: Radom
Znasz nierównośc Cramer'a -Rao?
Na rozgrzewkę proponujępoliczenie wartości oczekiwanej X
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 17:04 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Próboje to ogarnąć, stąd też moja prośba o rozwiązanie zadania i w miarę możliwości opatrzone komentarzami
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 17:51 
Użytkownik

Posty: 12305
Lokalizacja: Presslaw
Cramer'a, serio :?: Apostrof'y w niewłaściwy'ch miejsc'ach.

Poza tym kto „-uje" kreskuje, ten dostaje w szkole dwóje.
Dobra, wyżyłem się polonistycznie, do rzeczy…

Najpierw policzymy informację Fishera dla parametru \theta (można policzyć dla pojedynczej próby i potem po prostu pomnożyć przez n).
I(\theta)= \int_{0}^{+\infty} = \frac{1}{\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\ln\left( \frac 1 {\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}\right)  \right)^2 e ^{\frac{-x}{\theta}}\,\dd x=\\= \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\theta}\left( -\frac{1}{\theta}+\frac{x}{\theta^2}\right)^2 e^{-\frac{x}{\theta}}\,\dd x=\\=\frac{1}{\theta^3} \int_{0}^{+\infty} \left( -1+\frac{x}{\theta}\right)^2 e^{-\frac x {\theta}}\,\dd x=\\=\frac{1}{\theta^3} \int_{0}^{+\infty}\left( 1-\frac{2x}{\theta}+\frac{x^2}{\theta^2}\right)e^{-\frac x {\theta}}\,\dd x
i teraz tak: nie chce mi się liczyć tych całek przez części, więc podstawienie t=\frac{x}{\theta} sprowadzi to po prostu do czegoś takiego:
\frac{1}{\theta^2}\left( \Gamma(1)-2\Gamma(2)+\Gamma(3)\right) =\frac{1}{\theta^2}
gdyż dla \mathrm{Re}(a)>0 mamy
\int_{0}^{+\infty}t^{a-1}e^{-t}\,\dd t=\Gamma(a)
a ponadto dla k\in \NN^+ jest \Gamma(k)=(k-1)!.

Czyli informacja Fishera dla \theta i całej n-elementowej próby wynosi I(x_1, \ldots x_n, \theta)=\frac{n}{\theta^2}.

Teraz obliczymy wariancję estymatora \overline{X}.
Oczywiście \mathrm{Var}X_i=\theta^2, i=1\ldots n (patrz rozkład wykładniczy), ponadto wariancja sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych mających drugi moment to suma ich wariancji, no i dla dowolnej stałej c\in \RR mamy \mathrm{Var}(cX)=c^2\mathrm{Var} X. Stąd:
\mathrm{Var}\overline{X}=\mathrm{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \right) =\\=\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}\left(  \sum_{i=1}^{n}X_i \right) =\frac{1}{n^2}\cdot  \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Var}X_i=\frac{\theta^2}{n}
Teraz patrzysz na Nierówność Craméra-Rao
i widzisz, że \mathrm{Var}\overline{X}= \frac{\theta^2}{n}
jest równa \frac{1}{\frac{n}{\theta^2}}=\frac{1}{I(x_1, \ldots x_n, \theta)},
czyli osiąga dolne ograniczenie wariancji estymatora nieobciążonego z nierówności Craméra-Rao, a więc estymator \overline{X} parametru \theta jest w tym przypadku najefektywniejszy (ma możliwie małą wariancję).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 cze 2018, o 19:39 
Użytkownik

Posty: 6
Lokalizacja: Polska
Dziękuje za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie obciążoności estymatora  cancer85  1
 Nie ma estymatora o najmniejszej wariancji  musialmi  0
 Zgodność estymatora, metoda największej wiarygodności.  Tomaszko  0
 Wariancja estymatora - zadanie 4  tomass0n  0
 Wariancja i błąd sredniokwadratowy estymatora  pucio  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl