szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 cze 2018, o 10:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Wrocław
Hej, mam takie zadanie:

Znaleźć wszystkie funkcje f-całkowite ( f: C \rightarrow C holomorficzna) spełniające równanie f(z^2)=f(z)^2 dla z \in  C.

Próbowałem to ugryźć z równań cauchy'iego-reimann'a oraz z przedstawienia funvkji jako wzór taylora ale nie widzę nadal rozwiązania, jakieś pomysły?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 cze 2018, o 07:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13332
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
reimann'a

No i ja się pytam człowieku, dumny Ty jesteś z siebie? Możesz obrażać tych, co na to zasłużyli sobie, ale nie naszego Jana Pawła Riemanna…

f(z^2)=f(z)^2
Hmm, ja bym to chyba przeliczał na szeregach potęgowych właśnie. Skoro f całkowita, niechaj
f(z)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n z^n.
Wówczas równanie
f(z^2)=f(z)^2 można zapisać:
\sum_{n=0}^{ \infty } a_n z^{2n}=\left(  \sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^n \right)^2\\
Korzystamy z iloczynu Cauchy'ego szeregów i mamy:
\sum_{n=0}^{ \infty }a_n z^{2n}= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( \sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}  \right)z^n

Stąd i z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy płynie taki wniosek, że ta suma:
\sum_{k=0}^{n}a_k a_{n-k}
ma się tak (porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach):
a_n= \sum_{k=0}^{2n}a_k a_{n-k},
natomiast
0= \sum_{k=0}^{2n+1}a_k a_{n-k}
Jak zaczynamy to liczyć, no to co do a_0 niby nic mądrego nie dostajemy, ale przyrównując już współczynniki przy z^1 otrzymujemy
0=2a_0a_1, czyli co najmniej jeden ze współczynników a_0, \ a_1 musi być zerowy. No i teraz trochę to sobie, kurczę, porozpisuj. Jak zauważysz jakieś prawidłowości, to dalej możesz je bez problemu udowodnić indukcyjnie, ja nie będę się za darmo produkował, jak ktoś myli Riemanna z Rain Manem.
Gdybyś chciał sprawdzić rozwiązania, to otrzymałem takie:
dowolna funkcja stała oraz funkcje postaci f(z)=z^{m} dla pewnego m\in \NN.

Nie wiem, czy podejście z równaniami Cauchy'ego-Riemanna cokolwiek daje, w każdym razie na pewno jest dla mnie nieprzyjemne, bo można się walnąć z minusami podczas wyznaczania np. \mathrm{Re}\left( (x+iy)^2\right).

-- 16 cze 2018, o 18:43 --

Nie no, spośród funkcji stałych to tylko funkcje stale równe rozwiązaniom równania x=x^2, zawsze coś muszę zepsuć. Jak ja nienawidzę tej matematyki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 cze 2018, o 11:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 248
Lokalizacja: Wrocław
Nawet najlepszym się zdarza Premislav'ie, a ja do najlepszych nawet nie dorastam ;)

A co do zadania to dzięki za rozwiązanie, jutro będę próbował to okiełznać, dziś nie dam już rady.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje klasy ST  madzik001  0
 funkcje holomorficzne - zadanie 3  Matematyk111  1
 Znajdź funkcję holomorficzną  marek70  2
 Wzór na funkcje dzeta Riemanna.  MKultra  1
 funkcje harmoniczne - zadanie 2  leszczu450  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl