szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 09:43 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
Witam. Mam problem z obliczeniem zbieżności tych ciągów:
\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{1}{2n ^{4} - n ^{3}  }

\sum_{n=1}^{ \infty }   \frac{n ^{n-2} }{2 ^{n+1} \cdot n! }

\sum_{n=1}^{ \infty }  \frac{4 ^{n}-2 ^{n}  }{n ^{n} }

Mniej więcej wiem jakich kryteriów użyć, lecz wychodzą mi wyniki pokroju 0  \cdot   \infty a tutaj takie raczej nie powinny być.
Będę wdzięczny za rozwiązanie, ale najbardziej za wytłumaczenie.

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 19 cze 2018, o 09:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1486
Lokalizacja: hrubielowo
1) Kryterium ilorazowe.
2) Kryterium d'Alemberta.
3) Kryterium Cauchy'ego.

Pokarz jak liczysz bo to że wychodzi Ci 0 \cdot  \infty jest dość niepokojące.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 10:18 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
2.
\lim_{ \to   \infty }  \frac{(n+1) ^{n-1} }{2 ^{n+2}*(n+1)! } *  \frac{2 ^{n+1}*n! }{n ^{n-2} } =  \lim_{ \to   \infty }   \frac{(n+1) ^{n-1} }{2(n+1)} *  \frac{1}{n ^{n-2} } =  \lim_{ \to   \infty }  \frac{n ^{n-1} (1+ (\frac{1}{n}) ^{n-1}   }{2n(1+ \frac{1}{n}) } *  \frac{1}{n ^{n-2} }=...

I tak naprawdę tutaj pojawia się mój problem.
Nie za bardzo wiem jak można skracać na krzyż n-1 z n-2 oraz nie wiem co miałbym zrobić dalej.
Co do 1. to nie miałem tego kryterium.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 10:38 
Użytkownik

Posty: 12660
\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1) ^{n-1} }{2(n+1)} \cdot  \frac{1}{n ^{n-2} }=\\= \lim_{n \to  \infty }\frac 1 2\cdot \left( 1+\frac 1 n\right)^{n-2}= \frac{1}{2\left( 1+\frac 1 n\right)^2 } \cdot \left( 1+\frac 1 n\right)^n\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \frac e 2
Oczywiście \frac e 2>1.

-- 19 cze 2018, o 09:41 --

Co do pierwszego: wystarcza kryterium porównawcze
\frac{1}{2n ^{4} - n ^{3} }=\frac{1}{n^3(2n-1)}\le \frac{1}{n^3}
zaś
\sum_{n=1}^{ \infty }\frac{1}{n^3}
jest zbieżny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 10:49 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Polska
Dziękuję za rozwiązanie tych dwóch zadań, ale czy mógłbym jeszcze Cię poprosić o wytłumaczenie jak zrobiłeś to przejście?

Premislav napisał(a):
\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1) ^{n-1} }{2(n+1)} \cdot  \frac{1}{n ^{n-2} }=\\= \lim_{n \to  \infty }\frac 1 2\cdot \left( 1+\frac 1 n\right)^{n-2}= \frac{1}{2\left( 1+\frac 1 n\right)^2 } \cdot \left( 1+\frac 1 n\right)^n\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \frac e 2


Edit:

I czy mógłbyś mi wytłumaczyć jak skraca się na krzyż n-1 z n-2 w potęgach?

Z góry dziękuję.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 10:54 
Użytkownik

Posty: 12660
\frac{(n+1)^{n-1}}{n+1}=(n+1)^{n-2}\\ (n+1)^{n-2}\cdot \frac{1}{n^{n-2}}=\left( 1+\frac 
 1 n\right)^{n-2}= \frac{\left(\1+\frac 1 n\right)^{n}}{\left( 1+\frac 
 1 n\right)^{2}}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 cze 2018, o 10:58 
Użytkownik

Posty: 156
Dexms napisał(a):
Edit:

I czy mógłbyś mi wytłumaczyć jak skraca się na krzyż n-1 z n-2 w potęgach


Ale on tutaj nic takiego nie zrobił ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 5  ?elka  3
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 4  rucio  1
 badanie zbieżności szeregów - zadanie 14  rybka0805  4
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 3  Barney  1
 Badanie zbieżności szeregów - zadanie 22  rafal11555  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl