szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 15:02 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Katowice
Rozkład statystyk porządkowych - przypadek rozkładu jednostajnego na przedziale (0,\theta). Załóżmy teraz, że X_{1},...,X_{n} mają rozkład jednostajny na przedziale (0,\theta) tzn. ich gęstość dana jest wzorem
f(x)=\frac{1}{\theta}  1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,\theta)} (x)
Wtedy
f_{{x}_{i}} (x)=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{1}{\theta^n} x^{i-1} (\theta-x)^{n-1}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,\theta)} (x) ,x \in \mathbb{R}
Wykazać że
\mathbb{E}[X_i]=\frac{i\theta}{n+1} , Var[X_i]=\frac{i(n-i+1)\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}

Więc aby policzyć wartość oczekiwaną trzeba policzyć taką całkę gdzie n,i są ustalonymi liczbami naturalnymi, i\leq n oraz \theta jest parametrem. \int_0^\theta x^i (\theta - x)^{n-i} dx.
Skorzystałem ze wzoru dwumianu Newtona i wyszło mi coś takiego.
\int_0^\theta x^i (\theta + (-x))^{n-i}=\int_0^\theta x^i \sum_{k=0}^{n-i}{n-i \choose k} \theta^{n-i-k} (-x)^k i nie mam pojęcia co dalej zrobić, pomóżcie plisss.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2018, o 17:46 
Użytkownik

Posty: 1021
Sumę z całką można zamienić kolejnością.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2018, o 18:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13137
Lokalizacja: Wrocław
Nie wgłębiałem się w rachunki, bo nie bardzo mam czas, ale zakładając, że wykonałeś je poprawnie, to tę całkę:
\int_0^\theta x^i (\theta - x)^{n-i} dx
szybciej można policzyć, podstawiając x=\theta \cdot t, \ t \in [0,1]
co sprowadzi tę całkę do funkcji Beta.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczanie średniej z przedziałów - zadanie  Anonymous  1
 Obliczanie sredniej arytm, madiany i dominanty -zad  nice88  2
 dokonać estymacji punktowej wartości średniej i wariacji.  mario 83  1
 Obliczanie indeksu łancuchowego  Czarna341  2
 obliczanie dominanty  wb  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl