szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 19:45 
Użytkownik

Posty: 18
1.Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (1,-3,2) oraz prostą L : \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-4}{-1}

Proszę o pomoc :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 20:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6336
Prosta jest zaczepiona w punkcie Q=(-1,1,4), a jej wektor kierunkowy to \vec{k}=\left[ 2,3,-1\right].
Wektor normalny szukanej płaszczyzny to:
\vec{n}= \vec{QP}  \times  \vec{k}

Dalej pewnie potrafisz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 18
\vec{n} wyszło mi [10,2,14] i jest to odpowiedni x_0,y_0,z_0 ? Mam zaległości i właśnie je nadrabiam :] A jednak chyba to oznacza współczynniki A,B,C.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 21:14 
Użytkownik

Posty: 3159
Metoda pierwsza

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, -3, 2) więc jej równanie ma postać:

A(x -1) + B(y +3) + C(z -2)= 0, \ \ A^2 +B^2 + C^2 > 0 (1)

Szukana płaszczyzna przechodzi przez prostą L, to punkt M = (-1, 1, 4) tej prostej musi leżeć na płaszczyźnie (1) i musi być ona równoległa do prostej L .

Otrzymujemy stąd dwa równania:

A( -1 -1)+ B(1 + 3) + C( 4 - 2) = 0 (2)

A\cdot 2 + B\cdot 3 + C \cdot (-1) = 0 (3)

Traktujemy układ 1- 3 jako układ jednorodny trzech równań liniowych o niewiadomych A, B, C .

Układ ten posiada rozwiązanie niezerowe. W takim razie wyznacznik charakterystyczny tego układu musi być równy zeru.

Mamy więc

\left| \begin{matrix} x-1& y+3& z -2 \\ -2& 4& 2 \\ 2& 3& -1 \end{matrix} \right| = 0 (4)

Proszę rozwiązać równanie wyznacznikowe (4).

Metoda druga

Sprowadzamy prostą L do postaci krawędziowej. W tym celu bierzemy na przykład pod uwagę ilorazy pierwszy i trzeci oraz drugi i trzeci.

Otrzymujemy odpowiednio

x + 2z - 7 = 0, \ \ y + 3z - 13 = 0 (5)

Piszemy równanie pęku płaszczyzn przesuniętych przez prostą L o postaci krawędziowej (5)

x +  2z - 7 + k( y + 3z - 13) = 0 (6)

Płaszczyzna (1) przechodzi przez punkt P = (1, -3, 2) więc współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (6) .

Otrzymujemy w ten sposób równanie na k.

1 + 2\cdot (2) - 7 +k(-3 + 3\cdot 2 -13 ) = 0.

-10 k - 2 = 0, \ \ k = -\frac{1}{5}.

Podstawiając k = -\frac{1}{5} do równania (6) otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny.

Proszę dokończyć rozwiązanie zadania tymi dwiema metodami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 cze 2018, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 18
Na podstawie pierwszej metody otrzymałem takie równanie płaszczyzny: -21x-7z-9y+62=0. Natomiast nie bardzo rozumiem co zaszło w drugiej metodzie, jeśli chodzi o sam początek z ilorazami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2018, o 08:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6336
dawid343123 napisał(a):
\vec{n} wyszło mi [10,2,14] i jest to odpowiedni x_0,y_0,z_0 ? A jednak chyba to oznacza współczynniki A,B,C.

Raczej:
\vec{n}=\left[ 10,-2,14\right]
Masz rację, współrzędne tego wektora to współczynniki A,B,C.
Uzyskałeś równanie płaszczyzny:
10x-2y+14z+D=0
Wartość D wyliczysz wstawiając do równania płaszczyzny współrzędne dowolnego punktu który ona zawiera (np P albo Q albo inny punkt prostej L)

Mogę podać jeszcze kilka innych sposobów uzyskania równania płaszczyzny lecz sugeruję stosowanie najprostszych, najbardziej elementarnych działań. Nie zawsze będą one najszybsze, lecz będziesz rozumiał dlaczego je wykonujesz.


PS
janusz47 napisał(a):
Metoda pierwsza
A\cdot 2 + B\cdot 3 + C \cdot (-1) = 0 (3)
To równanie wynika z iloczynu skalarnego. Skoro wektor kierunkowy prostej i wektor normalny płaszczyzny mają być prostopadłe, to ich iloczyn skalarny wynosi 0.
janusz47 napisał(a):
Metoda pierwsza
\left| \begin{matrix} x-1& y+3& z -2 \\ -2& 4& 2 \\ 2& 3& -1 \end{matrix} \right| = 0 (4)
(x-1)\left| \begin{matrix}   4& 2 \\  3& -1 \end{matrix} \right|-(y+3)\left| \begin{matrix}  -2&  2 \\ 2&  -1 \end{matrix} \right|+(z-2)\left| \begin{matrix}  -2& 4 \\ 2& 3 \end{matrix} \right|=0
-10(x-1)+2(y+3)-14(z-2)=0
Wychodzi trochę inaczej niż sugerujesz.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2018, o 10:47 
Użytkownik

Posty: 3159
W metodzie pierwszej najprościej dodajemy wiersz drugi do trzeciego wyznacznika i rozwijamy wyznacznik względem trzeciego wiersza .

Otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny:

5x - y + 7z - 22 = 0.

W metodzie drugiej po podstawieniu wartości parametru k = -\frac{1}{5} i pomnożeniu równania przez 5 otrzymujemy to samo równanie płaszczyzny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 cze 2018, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 18
Dziękuje za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt - zadanie 3  Ozone  3
 Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt - zadanie 4  jadziksa  7
 równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt  Saladyn  4
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl